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La valeur minimale d'une fonction

Posté par
Nijiro 02-12-19 à 22:26

Bonjour,
Soit f la fonction numérique définie sur par:
f(x)= \sqrt{a^2+x^2} +\sqrt{(b-x)^2+c^2}
où a, b et c sont des réels positifs.
Déterminer la valeur minimale de la fonction f.
Merci d'avance.

Posté par
Kernelpanicre : La valeur minimale d'une fonction 02-12-19 à 22:28

Bonsoir Nijiro,

tu penses à quoi quand on te parle d'étude de fonctions en général ? (croissance, décroissance et donc min/max...)

Posté par
Nijirore : La valeur minimale d'une fonction 02-12-19 à 22:54

j'étudie les variations de la fonction??

Posté par
ty59847re : La valeur minimale d'une fonction 02-12-19 à 23:53

Oui , il faut étudier les variations de la fonction.
Et pour étudier les variations de la fonction, on fait comment ? C'est quoi le mot-clé  qu'il faut  que tu dises là ?

Et après ce mot-clé, si tu veux commencer aussi à appliquer cette méthode à la fonction qui t'es proposée, tu peux le faire

Posté par
Nijirore : La valeur minimale d'une fonction 03-12-19 à 19:31

Le taux de variations.

Posté par
Nijirore : La valeur minimale d'une fonction 03-12-19 à 19:50

Que faire avec les racines, elles me tourmentent
Je trouve cette expression:
\frac{2 (x-y)(x+y)-2b (x-y)+2\sqrt {(a^2+x^2)(b^2+x^2-2 bx+c^2)}-2\sqrt {a^2+y^2) (b^2+y^2-2by+c^2)}}{x_y}

Posté par
Nijirore : La valeur minimale d'une fonction 03-12-19 à 19:51

x-y dans le dénumérateur.

Posté par
perroquetre : La valeur minimale d'une fonction 03-12-19 à 21:30

Bonjour, Nijiro.

Il est préférable de raisonner géométriquement.

On se place dans \mathbb R^2
Soit A=(0,a)
Soit B=(b,-c)
Soit M_x=(x,0)
On a:   f(x)=AM_x+BM_x              f(x)=distance de A à M_x "plus" distance de B à M_x

f(x) est minimale lorsque M_x appartient au segment  [AB] ...


Si on recherche la valeur minimale de f, il n'est pas nécessaire de calculer la valeur de x en laquelle f atteint sa valeur minimale, il suffit de calculer la distance AB

Posté par
Nijirore : La valeur minimale d'une fonction 03-12-19 à 23:35

Je ne comprends pas pourquoi f (x) est minimale lorsque Mx appartient à  [AB] ??

Posté par
perroquetre : La valeur minimale d'une fonction 03-12-19 à 23:50

Inégalité triangulaire:
Pour tout point M du plan:   AB AM + MB
...

Posté par
Nijirore : La valeur minimale d'une fonction 04-12-19 à 00:02

Je comprends l'inégalité  et tout mais le fait d'exprimer f (x) à l'aide des distances c'est ce que je ne comprends pas, pouvez-vous exliquer et clarifier?

Posté par
perroquetre : La valeur minimale d'une fonction 04-12-19 à 06:57

Avec les notations que j'ai employées:  

AM_x=\sqrt{(x-0)^2+(0-a)^2}=\sqrt{a^2+x^2}     ,      BM_x=\sqrt{(x-b)^2+(0+c)^2}=\sqrt{(b-x)^2+c^2}        

On a donc       f(x)=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{(b-x)^2+c^2} = AM_x+BM_x

Posté par
Nijirore : La valeur minimale d'une fonction 04-12-19 à 19:41

J'ai déjà compris tout cela, ce que je ne comprends pas est comment c'est fait avec des distances, comment sont ces distances dans le repère? Comment imaginer f (x) et l'interpréter, je n'arrive pas à comprendre comment si Mx appartient à AB alors f (x) est minimale??

Posté par
perroquetre : La valeur minimale d'une fonction 04-12-19 à 21:45

Tu me poses 5 questions:

comment c'est fait avec des distances ?     Je ne comprends pas cette question

comment sont ces distances dans le repère ?   Là aussi, je ne comprends pas ce que tu veux.

comment imaginer f(x) ?    Je pourrais répondre à cette question mais je préfère attendre que tu aies compris la solution.

comment l'interpréter ?  Une nouvelle fois, je ne comprends pas.

je n'arrive pas à comprendre comment si Mx appartient à AB alors f (x) est minimale??  Il me semblait avoir commencé à l'expliquer le 3 décembre à 23h50  mais tu m'écris ensuite que tu as compris les inégalités ...


Je pense que tu devrais faire un dessin en plaçant les points A,B et M_x, en remarquant que le point M_x se déplace sur l'axe des abscisses.

Posté par
Nijirore : La valeur minimale d'une fonction 04-12-19 à 23:46

Est-ce que comme f(x) = AMx+BMx alors si Mx n'appartient pas à [AB], AMx+BMxAB donc f(x) AB,  c'est pour cela qu'on doit chercher AB. Mais dans le cas où Mx appartient à [AB]? donc f(x) =AB donc?

Posté par
perroquetre : La valeur minimale d'une fonction 05-12-19 à 00:11

En effet, si M_x appartient au segment [AB], alors   f(x)=AB

Posté par
Nijirore : La valeur minimale d'une fonction 05-12-19 à 00:45

Donc que sera la valeur minimale dans ce cas?

Posté par
Nijirore : La valeur minimale d'une fonction 05-12-19 à 00:46

AB également?

Posté par
perroquetre : La valeur minimale d'une fonction 05-12-19 à 12:25

Il y a une seule valeur de x pour laquelle M_x appartient au segment [AB]  : M_x se trouve alors à l'intersection de la droite (AB) et de l'axe des abscisses.
Lorsque M_x n'appartient pas au segment [AB]:  f(x)>AB.
Lorsque M_x appartient au segment [AB]:  f(x)=AB.

On en déduit que le minimum de f sur \mathbb R est égal à AB.

Posté par
Nijirore : La valeur minimale d'une fonction 05-12-19 à 19:54

Donc AB=\sqrt{b^2+(c-a)^2}
Mais pourquoi vous avez pris (-c) comme ordonné de B? il suffit de prendre c comme le carré enlevera le moins? Maintenant il faut chercher l'antécédent de cette valeur, n'est ce pas?

Posté par
perroquetre : La valeur minimale d'une fonction 05-12-19 à 22:11

En fait   AB=\sqrt{b^2+(c+a)^2}        (petite erreur de signe)

Citation :

Mais pourquoi vous avez pris (-c) comme ordonné de B?


Que se serait-il passé si on avait pris   B'=(b,c)
On aurait obtenu      f(x)=B'M_x+AM_x \geq AB'
Mais il n'existe aucune valeur de x pour laquelle   f(x)=AB'. En effet, aucun point de l'axe des abscisses n'appartient au segment AB'.
Et donc, on n'aurait pas pu conclure sur le minimum de f.

Citation :

Maintenant il faut chercher l'antécédent de cette valeur, n'est ce pas?

L'énoncé demande la valeur minimale de f, pas la valeur de x en laquelle ce minimum est atteint ...
Maintenant, si tu tiens à déterminer cette valeur de x, il suffit de déterminer l'intersection de la droite (AB) et de l'axe des abscisses. Par exemple on écrit l'équation de la droite (AB) et "on pose y=0", la valeur de x  qu'on obtient est celle que tu recherches.


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