Bonjour tout le monde,

Voici un problème bien compliqué car je ne sais pas raisonner par l'absurde or, de ce que j'ai pu comprendre, il le faut. pourriez vous m'aider s'il vous plaît? Merci beaucoup d'avance

On considère les deux réels φ =1+√5/2 et ψ =1−√5/2 (ψ est une lettre grecque qui se lit « psi »). On rappelle qu'un nombre réel x est un nombre rationnel qui peut s'écrire sous forme fractionnaire (c'est à dire qu'il existe a ∈ Z et b ∈ Z∗ tels que x =a/b) et que l'ensemble des nombres rationnels est noté Q. Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés irrationnels.

1. Le nombre √5 est il rationnel ? (pour cette question uniquement, aucune justification attendue) (bon là je pense pouvoir dire que √5 est irrationnel)

2. (a) Étant donné q dans Q, montrer que la proposition « un nombre réel x est un nombre rationnel, si et seulement si, le nombre réel qx est aussi un nombre rationnel » est vraie.  le nombre rationnel q doit être supposé non nul

(b) Montrer que la proposition « Si deux nombres réels x et z sont des nombres rationnels, alors x + z est aussi un nombre rationnel » est vraie.

(c) Donner la contraposée de la proposition prouvée en question 2.(b).
En utilisant la réponse à la question 1 ainsi que la proposition prouvée en question 2(a), cette nouvelle proposition permet-elle de conclure quant à la nature rationnelle ou irrationnelle de φ et ψ ? Si votre réponse est "oui", conclure. Si votre réponse est "non", expliquer. On rappelle que si A et B sont deux propositions, alors la contraposée de la proposition A ⇒ B (qui se lit « Si A, alors B » ou « A implique B ») est la proposition (non A) ⇒ (non B). Par exemple, la contraposée de « Si le dernier chiffre de l'écriture de l'entier naturel n se termine par 6 ou 8, alors l'entier naturel n est pair » est « Si l'entier naturel n n'est pas pair, alors le dernier chiffre de l'écriture de l'entier naturel n ne se termine ni par 6 ni par 8 ».