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Le point de concours comme barycentre
dans un triangle ABC, on pose a=BC b=AC c=AB Soit J le barycentre du systeme {(A,a),(B,b),(C,c)}.
1)démontrer que (a+b+c)AJ
= bABvecteur + cAC.
2)soient B" et C" les images de A par les translation de vecteurs respectifs b/a+b+c AB et c/a+b+c AC.Calculer ||AC"|| et ||AB"||.
3)demontrer que le quadrilatére AC"JB" est un losange. En déduire que J est sur la bissectrice intérieure de l'angle A.
4)En permutant les rôles de A,B,C dans la demonstration prédente, que pourrait on démontrer ? (on ne demande pas de preuve)
5) En déduire que le cercle inscrit a ABC est le barycentre du systéme { (A,a),(B,b),(C,c)}.
J'aimerais de l'aide j'ai réussit à trouver la question 1 alors si vous pouviez m'aide serais très gentil
Bonsoir Mousha ,
il s'agit de vecteurs :
2)AB"=bAB/(a+B+c) or ||AB||=c donc ||AB"||=bc/(a+b+c).
de même AC"=cAC/(a+B+c) or ||AC||=b donc ||AC"||=bc/(a+b+c):
les longueurs AB" et AC" sont égales .
3) La 1ère question nous dit que (a+b+c)AJ=bAB+cAC (1).
Or bAB=(a+b+c)AB" et cAC=(a+b+c)AC"--> (1) devient ,après simplification par 'a+b+c): AJ=AB"+AC"=AB"+B"J : donc AC"=B"J .
Le quadrilatère AC"JB" qui a ses 4 côtés égaux ...
4) donc les bissectrices d'un triangle sont concourantes et J ,ce point de concours ...
Bonne journée .
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