Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Probabilité : Conditionnement - IndépendanceTopics traitant de Probabilité : Conditionnement - Indépendance [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Le taxi et les probabilités

Posté par
f066457 06-03-06 à 07:05

Bonjour,

Voici un problème qui paraît simple mais que je n'arrive pas à résoudre:

Marcel et Auguste sont chauffeurs de taxi.
Le central appele toujours Marcel en premier car il arrive à la bonne destinantion 2 fois sur 3, alors que Auguste seulement une fois sur 7.

Leurs véhicules sont plutôt mal en point alors quand la voiture de Marcel ne veut pas démarrer, c'est le cas 2 fois sur 5, alors le central appelle Auguste.

1. Quelle est la probabilité que le prochain taxi arrive à destination ?
2. Quelle est la probabilité pour qu'un taxi arrivé à destination ait été conduit par Marcel ?
3. Quelle est la probabilité pour qu'un taxi qui n'arrive pas à destination ait été conduit par Auguste ?

Des amateurs de proba ?
Merci.

Posté par
kiko21re : Le taxi et les probabilités 06-03-06 à 12:00

Bonjour,

Est-ce que le véhicule d'Auguste est aussi mal en point que celui de Marcel ?
Est-ce que lui aussi ne démarre que 2 fois sur 5 ?

A+, KiKo21.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Le taxi et les probabilités 06-03-06 à 13:05

Bonjour,

Voici quelques idées sur ce problème, mais l'énoncé me semble ambigu sur plusieurs points.

On considère l'univers constitué des 4 éventualités suivantes :
w1 : M est appelé, sa voiture fonctionne, et il arrive à destination
w2 : M est appelé, sa voiture fonctionne, et il n'arrive pas à destination
w3 : M est appelé, sa voiture ne fonctionne pas, donc A est appelé et il arrive à destination
w4 : M est appelé, sa voiture ne fonctionne pas, donc A est appelé et il n'arrive pas à destination

On considère de plus les 4 événements :
M : la voiture de Marcel fonctionne (M = w1 union w2)
et son complémentaire :
M' : la voiture de Marcel ne fonctionne pas, donc A est appelé
D : le taxi arrive à destination (D = w1 union w3)
et son complémentaire :
D' : le taxi n'arrive pas à destination

Je comprends l'énoncé ainsi :
a) P(M) = 3/5 ; P(M')=2/5
b) "Le central appele toujours Marcel en premier car il arrive à la bonne destination 2 fois sur 3 [quand sa voiture fonctionne ?]"
donc P(w1/M) = 2/3
c) Je comprends que la voiture d'Auguste fonctionne toujours (?)
P(w3/M')=1/7

1. Quelle est la probabilité que le prochain taxi arrive à destination ?

Cela correspond à :
P(w1 ou w3)
= P(w1) + P(w3) (événements incompatibles)
= P(w1 inter M) + P(w3 inter M') (car w1 est inclus dans M, et w3 dans M')
= P(w1/M).P(M) + P(w3/M').P(M')
= ... (tout est connu)

2. Quelle est la probabilité pour qu'un taxi arrivé à destination ait été conduit par Marcel ?
Cela correspond à P(M/D) ou P(w1/D) (c'est pareil).
P(w1/D) = P(w1 inter D) / P(D)
or P(w1 inter D) = P(w1) = P(w1 inter M) = P(w/M).P(M) connu
etc...

A vérifier et re-vérifier (tant la compréhension de l'énoncé que les calculs).

Nicolas





Posté par
f066457re : Le taxi et les probabilités 06-03-06 à 23:29

<quote>
posté par : kiko21
Bonjour,

Est-ce que le véhicule d'Auguste est aussi mal en point que celui de Marcel ?
Est-ce que lui aussi ne démarre que 2 fois sur 5 ?
</quote>
Bonjour. Oui, bonne remarque: Le véhicule d'auguste démarre toujours.

Je n'ai pas la possibilité de modifier mon post pour remplacer
"Leurs véhicules sont plutôt mal en point alors quand la voiture de Marcel ne veut pas démarrer, c'est le cas 2 fois sur 5, alors le central appelle Auguste."
par
"Le véhicule de Marcel est plutôt mal en point alors quand il ne veut pas démarrer, c'est le cas 2 fois sur 5, alors le central appelle Auguste."

Désolé pour le contre temps.

Posté par
kiko21re : Le taxi et les probabilités 07-03-06 à 12:05

Bonjour,

Si on considère que le véhicule d'auguste démarre tout le temps, comme l'a fait Nicolas_75 qui donne la réponse à la question 1., cela donne une meilleure probalité, sinon on avait un peu plus de 13 chances sur 30 d'arriver à destination (76/175 exactement si je ne me trompe pas) soit moins de 1 chance sur 2 !!! Sacrée compagnie !
Heureusement, Auguste ne tombe jamais en panne, ça relève un peu le niveau, mais il tourne en rond 6 fois sur 7 alors il consomme du gasoil pour rien !!

Pour précision, la réponse 2. de Nicolas_75 est P(w1/M).P(M)/P(D) où P(D) est la réponse à la question 1.

Il n'y a plus qu'à chercher la réponse 3.

Pour visualiser de manière concrète, imagine qu'il y ait 35 appels du central pour Marcel (fais une arborescence).
Tu pourras ensuite calculer :
1. Nb taxis arrivés / Nb d'appels
2. Nb taxis arrivés conduits par Marcel / Nb taxis arrivés
3. Nb taxis perdus conduits par Auguste / Nb taxis perdus

Donne-nous tes résultats...

A+, KiKo21.

Posté par
f066457re : Le taxi et les probabilités 07-03-06 à 22:52

Bonjour,

Je n'ai malheureusement pas les réponses de l'énigme. La seule possibilité que j'ai, c'est de proposer les 3 réponses simultanément et c'est seulement si les 3 sont justes que je sais si c'est bon :-[

Les probas, c'est pas mon dada, pour tant quand Nicolas_75 expose ses réponses, ça semble tellement logique...

Avec la formule de Nicolas_75 j'arrive à:
Réponse 1 : 16/35
Avec la formule de Nicolas_75 et la précision de kiko21, j'arrive à :
Réponse 2 : 7/8

Je n'ai pas la réponse 3.

Par contre, kiko21, je n'arrive pas à visualiser l'arborescence.
Je vais réessayer... je n'ai pas encore perdu espoir

En attendant, si vous avez un résultat à me donner pour la réponse 3, j'essaie dans la foulée les 3 réponses et je je ferai un feedback

Merci.
@+

Posté par
f066457re : Le taxi et les probabilités 07-03-06 à 23:25

Merci beaucoup à Nicolas_75 et kiko21.

J'ai réussi avec l'arbre à trouver la réponse 3 !!!
Je ne savais pas comment m'y prendre, mais en effet, en mettant les 16/35 cas où Marcel arrive à destination, j'ai placé les 1/3 de cas où Marcel n'y arrivait pas et j'ai juste eu à compter le nombre de taxis perdus par Auguste, soit 12/19.

Pour résumer :
Réponse 1 : 16/35
Réponse 2 : 7/8
Réponse 3 : 12/19

Encore merci.
@+

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Le taxi et les probabilités 08-03-06 à 05:07

Exercice amusant en effet.
Je dis "exercice" car ce n'est pas vraiment une énigme : cela n'utilise pas d'autres notions de probabilités que celles vues en cours.

Pour moi-même, j'ai essayé de le mettre au propre. Je poste ici si cela peut servir à quelqu'un.

Enoncé
Marcel et Auguste sont chauffeurs de taxi.
Le central appele toujours Marcel en premier car il arrive à la bonne destination 2 fois sur 3 (quand sa voiture fonctionne), alors que Auguste seulement 1 fois sur 7.
Le véhicule de Marcel est plutôt mal en point alors quand il ne veut pas démarrer, c'est le cas 2 fois sur 5, alors le central appelle Auguste.
1. Quelle est la probabilité que le prochain taxi arrive à destination ?
2. Quelle est la probabilité pour qu'un taxi arrivé à destination ait été conduit par Marcel ?
3. Quelle est la probabilité pour qu'un taxi qui n'arrive pas à destination ait été conduit par Auguste ?

Résolution

On considère l'univers constitué des 4 éventualités suivantes :
3$\omega_1 : Marcel est appelé, sa voiture fonctionne, et il arrive à destination
3$\omega_2 : Marcel est appelé, sa voiture fonctionne, et il n'arrive pas à destination
3$\omega_3 : Marcel est appelé, sa voiture ne fonctionne pas, donc Auguste est appelé et il arrive à destination
3$\omega_4 : Marcel est appelé, sa voiture ne fonctionne pas, donc Auguste est appelé et il n'arrive pas à destination

On considère de plus les 4 événements :
3$M : la voiture de Marcel fonctionne (3$M=\omega_1\cup\omega_2)
3$\bar{M} : la voiture de Marcel ne fonctionne pas (donc Auguste est appelé) (3$\bar{M}=\omega_3\cup\omega_4)
3$D : le taxi arrive à destination (3$D=\omega_1\cup\omega_3)
3$\bar{D} : le taxi n'arrive pas à destination (3$\bar{D}=\omega_2\cup\omega_4)

D'après l'énoncé...

"Le véhicule de Marcel est plutôt mal en point alors quand il ne veut pas démarrer, c'est le cas 2 fois sur 5, alors le central appelle Auguste."
Donc 3$\fbox{\mathbb{P}(M)=\frac{3}{5}} et 3$\fbox{\mathbb{P}(\bar{M})=\frac{2}{5}}

"Le central appele toujours Marcel en premier car il arrive à la bonne destination 2 fois sur 3 (quand sa voiture fonctionne), alors que Auguste seulement 1 fois sur 7."
Donc 3$\fbox{\mathbb{P}(\omega_1/M)=\frac{2}{3}}
et 3$\fbox{\mathbb{P}(\omega_3/\bar{M})=\frac{1}{7}}

On en déduit immédiatement :

3$\mathbb{P}(\omega_1)=\mathbb{P}(\omega_1\cap M)=\mathbb{P}(\omega_1/M)\cdot\mathbb{P}(M)=\frac{2}{3}\times\frac{3}{5}=\frac{2}{5}
donc 3$\fbox{\mathbb{P}(\omega_1)=\frac{2}{5}}

3$\mathbb{P}(\omega_3)=\mathbb{P}(\omega_3\cap\bar{M})=\mathbb{P}(\omega_3/\bar{M})\cdot\mathbb{P}(\bar{M})=\frac{1}{7}\times\frac{2}{5}=\frac{2}{35}
donc 3$\fbox{\mathbb{P}(\omega_3)=\frac{2}{35}}

3$\mathbb{P}(\bar{M})=\mathbb{P}(\omega_3\cup\omega_4)
Or ces deux événements sont incompatibles, donc :
3$\mathbb{P}(\bar{M})=\mathbb{P}(\omega_3)+\mathbb{P}(\omega_4)
3$\mathbb{P}(\omega_4)=\mathbb{P}(\bar{M})-\mathbb{P}(\omega_3)=\frac{2}{5}-\frac{2}{35}
3$\fbox{\mathbb{P}(\omega_4)=\frac{12}{35}}

1. Quelle est la probabilité que le prochain taxi arrive à destination ?

3$\mathbb{P}(D)=\mathbb{P}(\omega_1\cup\omega_3)
Or ces deux événements sont incompatibles.
3$\mathbb{P}(D)=\mathbb{P}(\omega_1)+\mathbb{P}(\omega_3)=\frac{2}{5}+\frac{2}{35}
3$\fbox{\mathbb{P}(D)=\frac{16}{35}}

2. Quelle est la probabilité pour qu'un taxi arrivé à destination ait été conduit par Marcel ?

Appelons 3$E cet événement. Il correspond à 3$\mathbb{P}(M/D) ou 3$\mathbb{P}(\omega_1/D) (c'est pareil).
3$\mathbb{P}(\omega_1/D)=\frac{\mathbb{P}(\omega_1\cap D)}{\mathbb{P}(D)}=\frac{\mathbb{P}(\omega_1)}{\mathbb{P}(D)}=\frac{2/5}{16/35}
3$\fbox{\mathbb{P}(E)=\frac{7}{8}}

3. Quelle est la probabilité pour qu'un taxi qui n'arrive pas à destination ait été conduit par Auguste ?

Appelons 3$F cet événement. Il correspond à 3$\mathbb{P}(\bar{M}/\bar{D}) ou 3$\mathbb{P}(\omega_4/\bar{D}) (c'est pareil).
3$\mathbb{P}(F)=\mathbb{P}(\omega_4/\bar{D})=\frac{\mathbb{P}(\omega_4\cap\bar{D})}{\mathbb{P}(D)}=\frac{\mathbb{P}(\omega_4)}{\mathbb{P}(\bar{D})}=\frac{12/35}{1-16/35}
3$\fbox{\mathbb{P}(F)=\frac{12}{19}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
kiko21re : Le taxi et les probabilités 08-03-06 à 21:19

Bonsoir à tous,

le petit desssin de l'arborescence...
...pour vérifier  :
1. 16/35
2. 14/16 sot 7/8
3. 12/19

A bientôt, KiKo21.


Le taxi et les probabilités


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !