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Le Théorème du Trapèze
Bonjour, j'ai un exercice qui me pose problème, le voici :
Le but de l'exercice est de démontrer la propriété suivante :
Dan un trapèze, les milieux des côtés parallèles, le point d'intersection des côtés non parallèles et le point d'intersection des diagonales sont alignés.
Soit ABCD un trapèze tel que les droites (AB) et (DC) soient parallèles. On suppose que les droites (AD) et (BC) se coupent en un point M et que les droites (BD) et (AC) se coupent en un point N. Soient I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CD].
On se place dans le repère (A ; vAI ; vAD). On appelle c l'abscisse du point C, avec c réel positif non nul.
1. Montrer que supposer (AD) et (BC) concourantes revient à supposer que c différent de 2.
2. On suppose désormais c différent de 2.
a. Déterminer les coordonnées des points M, N, I et J.
b. Montrer l'alignement des points M, N, I et J.
Je suis bloquée et je ne vois pas comment faire, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ? Merci
1. Montrer que supposer (AD) et (BC) concourantes revient à supposer que c différent de 2.
autrement dit les vecteurs AD et BC ne sont pas colinéaires
A toi
Bonsoir,
J'ai donc : vAD (0 ; 1) et vBC (c-2 ; 1)
Je fais donc :
<=> xy' - x'y ≠ 0
<=> (0x1) - [1x(c-2)] ≠ 0
<=> 0 - (c-2) ≠ 0
<=> - c + 2 ≠ 0
<=> c ≠ 2
Est-ce que j'ai bien répondu à la question ?
a. Déterminer les coordonnées des points M, N, I et J.
.
A(0;0)
I(1;0)
D(0;1)
C(c;1)
sers toi de : MD/MA=MC/MB=DC/AB
Je ne comprends pas trop comment il faut faire après. Je sais que c'est le théorème de Thalès, mais avec des coordonnées de vecteurs...
autre solution:
l'équation de (AD) est x=0
puis trouve celle de (BC)...............................
B(2;0)
C(c;1)
puis tu trouveras les coordonnées de l'intersection M
Donc on sait que l'équation de (AD) est x = 0.
L'équation de la droite (BC) est x + (-c+2)y - 2 = 0
Alors je résout les deux équations :
<=> x = 0
x + (-c+2)y - 2 = 0
<=> x = 0
0 + (-c+2)y - 2 = 0
<=> x = 0
(-c+2)y - 2 = 0
<=> x = 0
(-c+2)y = 2
<=> x = 0
y = 2/(-c+2)
Est-ce que les calculs sont corrects ?
J'ai donc trouvé M (0 ; 2/(-c+2).
Maintenant je cherche les coordonnées de N.
Je cherche les équations de (DB) et (AC).
(DB) a pour équation : x + 2y - 2 = 0
(AC) a pour équation : x - cy = 0
Je résout alors les deux équations :
<=> x + 2y - 2 = 0
x - cy = 0
<=> x = cy
cy + 2y - 2 = 0
<=> x = cy
y(c+2) - 2 = 0
<=> x = cy
y(c+2) = 2
<=> x = cy
y = 2/(c+2)
<=> x = c*[2/(c+2)]
y = 2/(c+2)
<=> x = 2c/(c+2)
Donc les coordonnées de N sont ( 2c/(c+2) ; 2/(c+2) )
Est-ce que les calculs sont corrects ?
ton post de 28-12-16 à 12:18[
l'équation de la droite (BC) est de la forme y=ax+b
B(2;0)
C(c;1)
a= (1-0)/(c-2)= 1/(c-2)= 1/-(2-c)=-1/(2-c)
on a donc : y=-1/(2-c) +b
calculons b
comme B(2;0) appartient à (BC)
alors:
0= -1/(2-c)*2+b= -2/(2-c)+b
ou
b=2/(2-c)
l'équation cherchée est donc : y=-1/(2-c)x+2/(2-c)
coordonnées de M:
x=0
y=-1/(2-c)x+2/(2-c)
remplaçons x par 0 dans y=-1/(2-c)x+2/(2-c)
on obtient : y=2/(2-c)
M(0;2/(2-c))
ce que tu as trouvé : x = 0
y = 2/(-c+2)
on retrouve bien la même chose
post de 28-12-16 à 17:02
(DB) a pour équation : x + 2y - 2 = 0 ; (AC) a pour équation : x - cy = 0
y = 2/(c+2)
<=> x = 2c/(c+2)
maintenant, fait la dernière question.
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