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Le volume d'une sphere
Bonjour,
J'ai un "probleme" de math à faire pour la rentrée des vaccances.Et je suis bloqué a la premiere question j'ai besoin d'UN COUP DE POUCE pour demarer.Voici l'enoncé.
L'objet de ce probleme est de determiner le volume V d'une sphere de rayon R. On calcul ici "pour plus de faciliter" le volume de la demi sphere.
1)Partage et encadrement
On divise le rayon en n segment de même longueur .On est alors conduit à considere n cylindres interieurs et (n-1) cylindres exterieurs. Le volume V vérifie alors, pour tout entier n ,Un<
<Vn.
2)calcul de Un et de Vn
a)Montrer que le volume du cylindre interieur est :
(-
)
.
b)Montrer que : Un=[(
)+(
)+....+(
]
et que : Vn=[(
)+(
)+....+(
]
3)Passage au limite
a)En utilisant l'egalité:
montrer que Un=
et Vn=
b)Déduire les limites des suites (Un) et (Vn).
c)Conclure pour le volume de la sphere.
Tout d'abord je comprend pas l'histoire de cylindre exterieur et interieur.J'ai essayé de voir la boule dedemie sphere comme une moitié de tomate coupé en forme de rond ce qui donne plusieurs cylindre de même hauteur h mais de rayon (de diametre d)different avec h= et 0<d<R .Je pense de là, en partant de la formule du volume de cylindre , on peut montrer par recurrence. Mais dans mes calcul j'avance pas.
je vous remercie d'avnce pour votre aimable soutient.
Je pense qu'il faut que tu vois les cylindres comme de assiettes empilees. les cylindres interieurs sont completement dans la sphere alors que les exterieurs debordent.
Pour le kieme cylindre interieur, la hauteur sera kR/n et le rayon sera la racine de (R^2-(kR/n)^2) (theoreme de Pythagore). Utilises ensuite la formule du volume d'un cylindre.
Ci dessous un schema du kieme cylindre interieur.
enfin je crois que la hauteur est la même pour tous les cylindres.
vous etes bien d'accord que le volume d'un cylindre est:
V=h
j'ai dit que:
Vkieme=
=
=
merci pour le tuyau.
mais comment vous faites pour montrer Un ensuite?
pour Vn aussi d'ailleur
est-ce suffisant de dire ensuite ,apres avoir montrer pour Un , que c'est la somme de n cylindres exterieurs?
Tu a sraison, la hauteur est la meme pour tous les cylindres. Mon schema est tres mauvais.
De la meme maniere tu peux exprimer le volume du kieme cylindre exterieur.
Un est la somme de tous les cylindre interieurs donc
Un= piR^3/n^3(n^2-1^2)+piR^3/n^3(n^2-2^2)+.....piR^3/n^3(n^2-(n-1)^2)
Il ne te reste plus qu'a simplifier la somme en factorisant piR^3/n^3
Tu fais ensuite de meme avec Vn (somme des cylindres exterieurs)
merci beaucoup. puis-je garder votre schema en remplaçant la hauteur par R/n.
mais comment vous faites pour la question 3.
meme schema rectifie ci dessous.
Pour 3, pars de l'expression trouvee en 2 b)
On a (n^2-1^2)+(n^2-2^2).....+(n^2-(n-1)^2)= (n^2-1^2)+(n^2-2^2).....+(n^2-(n-1)^2)+(n^2-n^2)
=n*n^2-(1^2+2^2+.....(n-1)^2+n^2)
=n^3-(n*(n+1)*(2n+1)/6)
Il suffit ensuite de simplifier
mais sur ce schema on pourra plus utiser pythagore pour trouver le rayon du cylindre.
et pour la derniere question il faut utiliser le theoreme de gendarme ou pas?
Si, si on peut utiliser Pythagore. Sur le nouveau dession ci dessous, la ligne en gras qui va du centre de la sphere au sommet du rectangle est de longueur kR/n.
Cette ligne en gras forme un triangle rectangle avec le rayon de la sphere (R) et le rayon du cylindre (Rc).
Puisque V est entre Un et Vn et que Un et Vn tendent vers la meme limite quand n ---> + infini, alors V= limite de Un et Vn
mais c'est v/2 qui est encadré par Un et Vn.
donc ce srai pas V/2 qui va plutot tendre vers cette limite.
Ah bien sur! tu as tout a fait raison!. Donc si V/2=limite on aura V= ??? 
bonjour,
excuse moi mais j'ai un peu du mal a calculer Un et Vn pour la question 2b).
Enfin je trouve pas le même resultats. je vous serai reconnaissancant si vous pouviez encore m'aider.
MERCI BIEN
J'avais ecrit un peu plus haut:
Un est la somme de tous les cylindre interieurs donc
Un= piR^3/n^3(n^2-1^2)+piR^3/n^3(n^2-2^2)+.....piR^3/n^3(n^2-(n-1)^2)
Il ne te reste plus qu'a simplifier la somme en factorisant piR^3/n^3
si tu factorises tu trouves pi*R^3/n^3*[(n^2-1^2)+(n^2-2^2).....+(n^2-(n-1)^2)]
ce qui etais le resultat demande.
Que trouves-tu comme formule pour le kieme cylindre exterieur?
A +oo le rapport (4n^2-3n-1)/6n^2 a la meme limite que le rapport de ses termes de plus haut degre, soit 4n^2/6n^2, soit 4/6
DOnc la limite de pi*R^3*[4n^2-3n-1)/6n^2] est pi*R^3*4/6
Meme chose pour Vn
On trouve la meme limite
Donc V=(4/3)*pi*R^3
Zut, j'ai repondu a Q 3b
Pour Q 3a j'avais explique auparavant:
Pour 3, pars de l'expression trouvee en 2 b)
On a (n^2-1^2)+(n^2-2^2).....+(n^2-(n-1)^2)= (n^2-1^2)+(n^2-2^2).....+(n^2-(n-1)^2)+(n^2-n^2)
=n*n^2-(1^2+2^2+.....(n-1)^2+n^2)
=n^3-(n*(n+1)*(2n+1)/6)
n^3-(n*(n+1)*(2n+1)/6 = [3n^3-n*(n+1)*(2n+1)]/6
SI tu developpes 3n^3-(n*(n+1)*(2n+1) tu trouves 3n^3-(n(2n^2+n+2n+1))=n^3-(2n^3+3n^2+n)=n^3-3n^2-n= n(n^2-3n-1)
Donc
(n^2-1^2)+(n^2-2^2).....+(n^2-(n-1)^2)= (n^2-1^2)+(n^2-2^2).....+(n^2-(n-1)^2)+(n^2-n^2)= n(n^2-3n-1)/6
Il suffit ensuite d eremplacer (n^2-1^2)+(n^2-2^2).....+(n^2-(n-1)^2) dans la formule de Un par n(n^2-3n-1)/6
On a
[pi*R^3/n^3] * [n(n^2-3n-1)/6] = pi*R^3*(n^2-3n-1)/6n^2
est-ce que vous vous relisez avant de poster . parceque moi j'ai du mal.
Enfin je suis d'accord pour la partie encadré ('la citation). mais dans la suite du calcule, j'ai du mal a vous suivre.
merci, si vous pouviez être plus clair.
Je vais essayer d'utiliser latex mais je ne suis pas pro
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Il suffit ensuite de remplacer dans la formule de Un par
On a
Je te laisse simplifier
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