Bonjour, j'espère que tout le monde va pour le mieux malgré la pandémie, le confinement, toussa toussa

  Mon problème réside dans la dernière question d'un exo de maths, les autres étaient faisables voir faciles.

L'énoncé complet :

Soit f la fonction définie par : f(x) = √(x²-1)/x² et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j).

1) a/ Déterminer l'ensemble de Définition de Df.
( On trouve Df = x ∈ ]-∞, -1] U [1, +∞[)

1)b/Vérifier que la fonction f est paire.
(Pour tout x∈ Df, on a -x ∈ Df, et f(x)= f(-x) d'où la fonction f est paire.)

2)Étudier la dérivabilité à droite de la fonction f au point a = 1 et interpréter le
résultat obtenu. (la lim sera égale à +∞, donc la courbe Cf admet une demi tangente verticale orientée vers le haut à droite de 1).

3)a/Montrer que pour tout x ∈ à D-{-1, 1} :
f'(x)= (2-x²)/x³√x²-1 ( On trouve facilement le résultat en appliquant les règles de la dérivée)

3)b/Dresser le tableau de variations de f.( la fonction sera croissante sur l'intervalle ]-∞, -√2], décroissante sur[-√2, -1[, ]-1, 1[ est une intervalle interdite, et après la fonction sera de nouveau croissante sur l'intervalle]1,√2], et décroissante sur l'intervalle [√2, +∞[)

4) Étudier la branche infinie de la courbe Cf aux voisinages de +∞ puis construire la courbe Cf.( Les 2 limites de F(x) avec x qui tend vers+-∞ seront égales à 0, Donc la courbe admet une asymptote horizontale d'équation y=0, pour la représentation graphique j'ai pensé que l'asymptote va se confondre avec l'axe des abscisses, et les courbes je ne sais pas trop comment les représenter, j'ai essayé avec geogebra, mais comme je suis débutante, je ne sais pas trop comment m'y mettre, votre aide est la bienvenu !)

5)( La c'est le blocage total ) Soit g l'application définie de [√2, ⁺∞[ dans ]0, 1/2].
par g(x) = f(x)
Montrer que l'application g est bijective et que pour tout x ∈  ]0, 1/2], g⁻¹√(1+√1-4x²/2x²
(la racine englobe toute la fonction rationnelle)

Pour montrer d'abord que g est invective j'ai essayé de montrer que pour tout f(x)= f(y) on a x=y,  je me suis retrouvée avec x²=y² ou x²+y² = x²y², et je ne sais pas comment montrer que le dernier cas est impo, ce qui nous laissera avec x²=y² donc que x = +- y et puisque le domaine de définition est strictement positif, on aura x=y ce qui prouvera que l'application est invective.

Pour la surjective, + la dernière démonstration, je ne me suis pas encore mise à les rechercher, ce qui se fera après la rédaction du problème.

Merci pour votre aide, je vous souhaite une agréable journée !