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Les nombres pentagonaux
Bonjour,
Je bloque acutellement sur un exercice portant sur le chapitre des suites (chapitre où j'ai encore bcp de lacunes)
et voici l'énoncé :
On construit une succession de pentagones emboités P1, P2, P3, P4 comme ci dessous. Les nombres de points de chaque figure sont appelés nombres pentagonaux. On nommera Un le n-ième nombre pentagonal.
1) a. Combien y-a-t-il de points sur un côté de Pn? réponse : il ya n points sur chaque coté de Pn
b. En déduire que Un+1 = Un + 3.n + 1.
2) On pose Vn = Un+1 - Un
a. Quelle la nature de la suite (Vn) ? réponse : suite arithmétique car Vn = 3.n + 1 de raison 1.
b. En déduire V1 + V2 + ... + Vn-1 , en fonction de n
c. Exprimer V1 + V2 + ... + Vn-1 en fonction de Un . En déduire l'expression de Un en fonction de n
Je suis bloqué a la question 1) b. et aussi aux deux autres questions 2) b. et c. pour la premiere je vois vraiment pas comment le prouver explicitement et pour les 2 dernieres questions j'arrive toujours a un resultat avec Un et n rassemblé dans une même équation .
Merci d'avance pour votre aide.
la raison c'est le nombre constant qui est toujours additionné non?
Si Un+1 = Un + a alors la raison est 3, oui (définition par récurrence de la suite)
Mais si Un = 3n + 1, la raison est le nombre devant n ... (définition explicite de la suite)
juste comme ça es que tu as regardé les autres questions? es que tu comprends ou pas ce qu'il faut faire?
Question 1b :
Pour construire le pentagone Pn+1, tu prends le pentagone Pn, puis tu lui rajoutes 3 côtés avec n+1 points, et tu retires 2 points comptés en double. Donc :
Un+1 = Un + 3*(n+1) - 2 = Un + 3n + 1
pour le 2) j'obtient ( n( 3n - 1 ) - 2 ) / 2
mais de la il faut que j'obtienne l'expression de Un en fonction de n et ça je comprend vraiment pas comment on fait.
Vn = Un+1 - Un
Donc :
V1 = U2 - U1
V2 = U3 - U2
V3 = U4 - U3
...
Vn-2 = Un-1 - Un-2
Vn-1 = Un - Un-1
Si tu additionnes toutes ces égalités membres à membres, il reste :
V1 + V2 + V3 + ... + Vn-1 = Un - U1
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