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Les proportions d'une casserole économique (dérivation)
Bonjour pourriez-vous m'aider pour cet exercice svp ?
Vous êtes-vous demandé pourquoi la hauteur d'une casserole est approximativement égale à son rayon quelle que soit sa contenance?
Pour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant:
Comment fabriquer une casserole de volume v donné avec le moins de métal possible?
On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas des dimensions de la casserole.
L'unité est le cm. On note x le rayon du cercle du fond, h la hauteur et L l'aire totale égale à l'aire latérale plus l'aire du fond.
1)a) Démontrez que h=v/(
x2)
le volume d'un cylindre est v=r2h
Ici, v=x2h
donc h = v/(x2)
b)Démontrer que L=x2 + (2v/x)
Soit A1 l'aire du cercle du fond et A2 l'aire du cylindre.
A1=x2
A2 = 2xh = 2x * v/(x2)
= 2v/x
Donc L=A1+A2 = x2 + (2v/x)
2)a) Etudiez sur ]0 ; +
[ les variations de la fonction :
x
x2 + 2v/x
Alors, il faut calculer la dérivée, j'ai pensé que c'était :
f '(x)= 2x - 2/x2
C'est ça? Si oui, comment en étudier le signe?
b) Concluez en montrant que h=x
Bonsoir Gracieuse . Pourquoi as-tu omis de garder V dans la dérivée ?
C'est ici une constante, mais elle reste présente dans f(x)' .
Oui pardon, ce serait alors :
f '(x)= 2x - 2v/x2 ?
Si oui, je ne vois pas comment on peut étudier le signe.
Ne dis pas " ce serait" , mais " c'est " !
Si tu ne vois pas , tu cherches un peu !...
En réduisant au même dénominateur , tu pourras écrire une fraction . Et tu chercheras comment on peut l'annuler, par exemple .
Si je réduis au même dénominateur j'obtiens :
f '(x) = (2x2 - 2v)/x2
Le dénominateur sera toujours positif. Le numérateur est un polynôme de second degré, pour le factoriser, on utilise 
?
= 16v ?
Et donc les deux racines sont :
x1 = (-
16v)/4
x2 = (16v)/4
Pourquoi ces calculs ?... Donne simplement ( comme je viens de te le dire ) la valeur qui pourra l'annuler .
Mais annuler le quotient revient a trouver quand est ce que le numérateur s'annule non ?
Et vu que c'est un polynôme de second degré, on est obligé de faire ces calculs pour voir en quelles valeurs il s'annule, non?
Ne fais pas tant d'histoire avec ton faux polynôme !
Tu annules le numérateur , bien sûr , en écrivant .... qu'il est égal à O !
Mais avant , corrige ta réponse de 21h58 (je n'avais pas remarqué que tu avais fait une faute )
Mon faux polynome pourquoi? C'est bien un polynome non?
Et si c'est un polynome alors résoudre l'équation pour trouver en quelle valeurs il s'annule revient a faire ce que j'ai fait...
Une faute? ou ça? :S
Tu n'es guère gracieuse en râlant comme cela ...
On peut écrire directement :
2* Pi * x^3 - 2* V = 0 ---> x^3 = V / Pi
D'accord ?... Et tu peux comparer avec l'expression initiale de h .
Aah aah d'accord c'était pas x2 mais x3 donc ce n'est pas un polynome du second degré...
Ok pour le x3 = v/ mais ça ne permet pas d'étudier les variations...
Bonsoir . DE bonne humeur ?
La fonction f(x) = Pi* x² + 2*V/ x a pour dérivée :
f(x)' = ( 2*Pi*x^3 - 2*V)/ x²
qui a le signe du numérateur : Pi*x^3 - V
Ce numérateur s'annule pour : x =
Pour x inférieur, il est de signe ...
Pour x supérieur, il est de signe ...
Cette valeur est par suite un minimum .
Si tu as compris que la fonction est du type :
décroît \ minimum / croît
le minimum est donné au moment où la dérivée s'annule ... Non ?
Si tu avais répondu aux questions que je t'ai posées à 17h30 ...
(j'ai l'impressionque tu ne lis pas ce que je t'envoie ! )
Oui, mais j'ai compris sa, je vois juste pas comment déterminer pour quels x Pi*x^3 - V va être négatif et pour quels x il va être positif.
Puisque la fonction décroît ( = diminue) , puis , après une certaine valeur, se met à croître ( = augmenter), c'est qu'elle a atteint entre les 2, un MINIMUM...
Et cette position est donnée par la valeur de x qui annule la dérivée ...
Tu devrais savoir tout cela !
Comme je te l'ai dit ( !...), la dérivée s'annule quand on a :
2* Pi * x^3 - 2* V = 0 ---> x^3 = V / Pi
C'est ce qu'on te demandait à la question 2a .
Mais la dernière question en veut un peu plus . Alors tu remplaces V
par la valeur que tu avais tout au début V = Pi*x² * h
tu réduis l'égalité, et tu obtiens ce qu'on te demande dans la question 2b.
Excusez-moi mais je vois pas comment on peut partir du fait qu'elle décroit pui qu'elle croit alors que c'est ce qu'on cherche a prouver. Bref, c'est pas grave, mercis pour l'aide!
Bonsoir, J'ai exactement le même exercice a faire, et vos réponse ont permis de m'aider. Mais pour la partie 2, je ne comprend pas comment vous avez trouvé x^3 et pas x²pour la dérivé.. :/
Merci pour tout aide.
Bonsoir . Tu peux me montrer comment tu fais le calcul de la dérivée(avec un "e" à la fin) ?...
Et quel est ton résultat ?
Bonjour j'ai a faire cet exercice mais je ne comprend pas la 2 j'ai comme dérivée 2 pi x carré -2V sur X carré
Bonjour j'ai aussi cet exercice à faire et en ce qui concerne la 2a j'ai trouvé que c'était toujours positif mais je ne comprends comment montrer que h=x
Bonjour, je l'ai écrite juste au dessus.
Bonjour la dérivée c'est bien 2πxcarre -2V sur X carré. ??
Ah oui merci et comment avez vous fait pour le calcul du post de 15:42'?je ne comprend pas la fin comment le X cube disparait
0
La fonction f(x) = Pi* x² + 2*V/ x a pour dérivée :
f(x)' = ( 2*Pi*x^3 - 2*V)/ x²
qui a le signe du numérateur : Pi*x^3 - V
Ce numérateur s'annule pour : x =
Pour x inférieur, il est de signe ...
Pour x supérieur, il est de signe ...
Cette valeur est par suite un minimum .
Je ne comprend pas vous pouvez m'aider svp?
Car ta dérivée est négative sur ]0; h] et positive sur [h;+[
Donc f est décroissante puis croissante et admet son minimum en h.
Pour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant:
Comment fabriquer une casserole de volume v donné avec le moins de métal possible?
Pour répondre à cela nous allons donc essayer de trouver le minimum de f..
Et ensuite tu mets ce que je t'ai mis au dessus..
Un peu d'initiative quand même
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