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Les suites (3)
Devoirs33
Bonjour, j'aimerai de l'aide pour cet exercice. Merci.
a) Soit une fonction définie sur N telle que
Un = (3 + n) / (1 + n)
Exprimer Un+1 - Un en fonction de n
( je commence par a) )
C'est la 1ère fois que je rencontre une suite sous forme de fraction
Les deux expressions sont des suites arithmétique car ils sont sous la forme Un = U0 + n r
En revanche, c'est une division... ( cela change t-il la forme de la suite ? )
J'essaye de le faire sous forme d'une suite arithmétique tout de même
Un+1 - Un
Un+1 = (3 + n + 1 ) / ( 1 + n + 1 ) = (4 + n) / (2 + n)
Variation : r = 1 > 0 donc la suite est constante.
b) Soit un = 4 / 1 + n
Calcule Un+1 - Un
4 / 1 + n+1
4 / (1+n+1) - 4 / (1+n) = -4 / (n² + 3n + 2)
Quelle est sa variation ?
c) Soit la suite Un définie sur N telle que
Un = 9 (1/5)^n
Quelle est sa variation ?
J'ai fait une erreur pour la a)
Variation : r = 1 > 0 donc la suite est constante.
Non je voulais dire croissante
bonsoir
a) Un = (3 + n) / (1 + n). Exprimer Un+1 - Un en fonction de n
Un+1 = (3 + n + 1 ) / ( 1 + n + 1 ) = (4 + n) / (2 + n)
je suis d'accord,
mais il est demandé Un+1 - Un = ....
b) Soit un = 4 / 1 + n. Calcule Un+1 - Un
d'accord avec ton résultat
(il n'est toutefois pas nécessaire de développer le dénominateur)
Quelle est sa variation ? ?
Première ligne d'accord, mais ensuite !!!
Comme on ne touche pas au dénominateur, on le met de côté quelques instants
Développez
Pour le numérateur : je trouve -2
Mais comment-avez vous fait pour trouver tout cela ?
On me demande juste de calculer Un+1 - Un ?
Là d'accord
Addition de fractions si elles sont au même dénominateur
on a au départ
deux fractions
Dénominateur commun au pire le produit des deux dénominateurs
soit
en vertu de 1 pour la première et
pour la seconde
on a donc après mise au même dénominateur
Maintenant que les fractions sont au même dénominateur on peut donc additionner les numérateurs
C'est donc ce que j'ai fait
maintenant la somme
On n'a fait que calculer
D'accord, merci pour vos explications très claires.
Nous n'avons pas r dans cette expression, donc nous ne pouvons pas déduire sa variation
En revanche, que peut-on dire sur sa variation sachant que le numérateur est négatif et le dénominateur est positif ?
Une suite est croissante si pour tout
Une suite est décroissante si pour tout
on a calculé on a trouvé
vous avez dit
le numérateur est négatif et le dénominateur est positif
Il ne vous reste donc qu'à conclure
a) Merci.
b)Un+1 - Un
4 / 1 + n+1
4 / (1+n+1) - 4 / (1+n) = -4 / (n² + 3n + 2)
Je pense que la suite est croissante car la variation du dénominateur est positive
On tient au signe de la fraction. Le dénominateur, seul, ne nous intéresse pas
Attention aux parenthèses
carita vous avait dit qu'il ne servait à rien de développer le dénominateur
Le numérateur est négatif, le dénominateur positif donc le quotient est négatif. On a alors
Par conséquent, la suite est
D'accord mais pour la a) j'ai trouvé la variation en fonction du dénominateur.
Ici, cela ne fonctionne pas.
La suite b) est donc négatif car Un+1 - Un est inférieur ou égal à 0
a) ERREUR
on a dit numérateur négatif et dénominateur positif le quotient est donc négatif
on a
la suite est donc décroissante
Pour c) , j'ai oublié de préciser qu'on me demande éventuellement sa raison q.
Je trouve que c'est q = 9 ?
hekla
Oui c'est bien le sens de variation mais pour être plus rapide, j'évoque la variation. Est-ce maladroit ?
Dans un certain sens oui parce que vous avez vu lors des dérivées qu'il était question de taux de variation
c)
Ou vous appliquez ce que vous savez sur les suites géométriques ou vous redémontrez le sens de variation
si on a
Je doute que ce soit la raison
Voici la façon dont j'ai procédé afin de trouver q :
Un = 9 * (1/5)n
Un+1 = q* Un
Je n'ai pas fait comme vous ?
Puis-je, s'il vous plaît, appliquer les deux méthodes afin d'être au clair sur les deux manières de trouver la variation ?
Suite géométrique : si q, soit 9 > 1 alors la suite est strictement croissante. Ici, c'est bien le cas : 9 > 1.
L'autre méthode : Le quotient de cette expression est positif, ainsi le sens de variation sera croissant.
Est-ce cela ?
Il faudrait prendre les mêmes définitions
Là vous avez pris une fois la forme récurrente et pour l'autre la forme explicite
Comme c'est donné sous forme explicite, on va commencer par cela.
on peut mettre en facteur
par conséquent, négatif, la suite est décroissante.
Si l'on calcule on obtient
suite géométrique de raison 0<q<1 donc suite décroissante
Désolée je voulais écrire :
Pourquoi avez-vous écrit dans votre précédent message que
Un+1 / Un
= ... / 9 * (1/5)n+1
bonjour
dépannage en passant
Devoirs33, tu fais encore des erreurs de parenthèses...
Désolée je voulais écrire :
Pourquoi avez-vous écrit dans votre précédent message que
Un+1 / Un
= ... / (9 * (1/5)^(n+1))
parce qu'il s'est trompé...c'est exposant n bien sûr
D'accord, merci.
Donc c'est bien
Un+1 / Un
(9*(1/5))n+1 / (9 * (1/5)) n
= 1/5
Cela revient au même résultat finalement
Bonjour
N'est-ce pas la définition de la suite ?
le de
n'a pas le même sens que le
de
le premier est en indice il indique sa position dans la suite, le second est en exposant, il indique
combien de fois on doit multiplier le nombre par lui-même
Si l'on veut montrer que la suite est une suite géométrique,
soit, on montre qu'il existe un réel tel que
soit, on montre que le quotient de deux termes consécutifs quelconques est constant
En effectuant ce quotient, on a trouvé qu'il valait toujours
par conséquent, c'est bien une suite géométrique de raison et de premier terme 9
Bonjour
Ce n'est pas grave
On a utilisé la deuxième méthode pour trouver q = 1/5 ( pourquoi mettez-vous des parenthèses ?)
Si on utilise la première méthode : Un+1 = q * Un ,
cela revient au second car on aurait fait Un+1 / Un = q ?
Un peu, l'habitude pour une raison fractionnaire, pour qu'il
n'y ait pas d'ambiguïté sur ce quoi porte l'exposant, ensuite souvent cela
reste dans le copier-coller. Elles sont, bien sûr, inutiles
En clair :
U0 = 9
q = 1/5
Sens de variation décroissante car : 0 < 1/5 < 1
Merci pour vos explications.
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