Niveau première

Les suites de madame X

Posté par cpouri (invité) 04-02-05 à 20:36

Bonjour a tous ,
Madame X décide de verser 5000F,chaque année,le 31 Décembre,sur un compte en assurance-vie à partir de 1999.Toutes les sommes déposées sont rémunérées au taux annuel de 5%,à intérêts composés,ce qui signifie que chaque année,les intérêts sont ajoutés au capital le 31 Décembre et produisent à leurs tour des intérêts.
On désigne par $C_n$ (n $\ge$ 0) le capital,exprimé en francs,dont Madame X dispose sur son compte au $1^{er}$ Janvier de l'année (2000+n).On a donc $C_0$ =5000.
1° a)Montrer que le capital acquis au $1^{er}$ Janvier 2001 est 10250F.
b)Etablir que,pour tout entier n $\ge$ 0 :
$C_{n+1}$ =1.05 $C_n$ +5000.
Merci mais ce n'est pas fini!Je reviendrait plus tard

Posté par minotaure (invité)re : Les suites de madame X 04-02-05 à 21:32

salut
1a) 31 decembre 1999 elle met 5000 francs.
1 an plus tard, le 31 decembre 2000 elle rajoute 5000 francs.elle a donc 10000 francs.
le lendemain la banque lui verse les interets des 5000 francs restes un an sur le compte.
ces interets sont de 5000*0,05=250
au 1 er janvier 2001 elle a donc 5000+5000+250=10250.

b)soit n>=0 montrons que C(n+1)=1,05*C(n)+5000
le compte est a C(n) francs.

un an s'est ecoule sur le compte a C(n) francs.
le taux etant a 5% les interets sont de C(n)*0,05.
elle rajoute en plus 5000 francs.
donc C(n+1)=C(n) + C(n)*0,05 + 5000
donc C(n+1)=C(n)*[1+0,05] + 5000= C(n)*1,05 + 5000

donc C(n+1)=C(n)*1,05 + 5000

des questions, erreurs ?
sinon la suite...

Posté par cpouri (invité)et tout de suite,la suite des suites 05-02-05 à 17:34

Merci Minotaure voici la suite :
2° a)On pose $U_n$ = $C_n + 100000$ ,pour n $\g$ 0 .Etablir une relation entre $U_{n+1}$ et $U_n$ .
En déduire que la suite ( $U_n$ ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le $1^{er}$ terme.
b)Exprimer $U_n$ en fonction de n
c)Montrer que $C_n = 105000(1.05)^n - 100000$
d)En quelle année le capital acquis dépasse-t-il 200000F pour la $1^{ere}$ fois?
3° On pose : $S = 5000 + 5000(1.05) + 5000(1.05)^2 + ..... + 5000(1.05)^{19} + 5000(1.05)^{20}$ .
Calculer la valeure exacte de S et montrer que $S = C_{20}$
merci encore pour votre aide et viv ile au maths!

Posté par cpouri (invité)euh au secours 08-02-05 à 19:49

qqun pourai m'aider please ca serai cool sur le 2° entier et le3°

Posté par re : Les suites de madame X 08-02-05 à 20:48

bosoir ,
c'est un simple calcul à faire pour le début
tu as:
$C_{n+1}=1.05C_{n} +5000$
or $u_n=c_n+100000$
donc
$\begin{array}{ccc}u_{n+1}&=&c_{n+1}+100000\\\;&=&1.05c{n}+5000+100000\\\;&=&1.05c_{n}+105000\\\;&=&1.05(c_n+100000)\\\;&=&1.05u_n\\\end{array}$
aucun soucis

c'est une suite géométrique de raison 1.05 et de 1er terme $u_0=c_0=...$

b)
revoies ton cours

c)
cette question est facile quand tu auras fait la précédente

d)
....

3.
$\begin{array}{ccc}S&=&5000\; +\; 5000(1.05)\; +\; 5000(1.05)^2\; +\; ..... \;+\; 5000(1.05)^{19}\; +\; 5000(1.05)^{20}\\\;&=&5000(1\; +\; (1.05)\; +\; (1.05)^2\; +\; ..... \;+\; (1.05)^{19}\; +\; (1.05)^{20}\\\end{array}$
c'est la somme d'une suite géométrique de raison 1.05
d'où
$S=5000\frac{1-(1.05)^{21}}{1-1.05}$
(à vérifier )

voilà

Posté par minotaure (invité)re : Les suites de madame X 08-02-05 à 21:09

re(salut)
2a)U(n+1)=C(n+1)+100 000
or C(n+1)=1,05*C(n)+5000
donc U(n+1)=1,05*C(n)+105000
or 105000=1,05*100000
donc U(n+1)=1,05*[C(n)+100000]=1,05*U(n)
on remarque que U(n+1)/U(n)=1,05 et ce pour tout n.
donc la suite U est geometrique de raison 1,05 et de premier terme :U(0)=C(0)+100 000=5000+ 100 000=105 000

b) pour tout n dans N U(n)=105 000 *(1,05)^n

or pour tout n dans N, U(n)=C(n)+ 100 000
donc C(n)=-100000 + U(n)=-100 000 + 105 000*(1,05)^n

d)on cherche C(n)>=200 000 avec n le plus petit possible.
105 000*(1,05)^n-100000>=200000
donc (1,05)^n>20/7

t'es en premiere donc normalement la fonction x->ln(x) tu ne connais pas.
on va faire autrement :
soit V la suite definie par pour tout n dans N :
V(n)=(1,05)^n
V(n+1)-V(n)=1,05^n*(1,05-1)=1,05^n * 0,05>0
1ere remarque la suite V est strictement croissante.

on cherche n tel que V(n)>20/7
V(n+p)=1,05^(n+p)=1,05^n * 1,05^p=V(n)*V(p)
2 eme remarque : V(n+p)=V(n)*V(p)
V(n*p)=1,05^(n*p)=[1,05^n]^p=[V(n)]^p
3 eme remarque : V(n*p)=[V(n)]^p

V(0)=1<20/7
V(1)=1,05<20/7
V(2)=1,05^2<20/7
V(4)=V(2)^2<20/7 (d'apres remarque 3)
V(8)=V(4)^2<20/7
V(16)=V(8)^2<20/7
V(20)=[V(4)]^5<20/7
V(21)=V(20)*V(1) d'apres remarque 2.
et V(21)<20/7
V(22)=V(21)*V(1)>20/7

on vient de voir que V(21)<20/7<V(22)
donc 22 serait un bon candidat.faut verifier que 22 est bien le plus petit qui verifie cela : V(n)>20/7.

d'apres remarque 1 la suite V est croissante donc pour n=<21 on a V(n)=<V(21) comme V(21)<20/7
pour tout n=<21 on a V(n)<20/7
donc 22 est la bonne reponse.

3) soit la suite W definie sur N par :
pour tout n dans N W(n)=5000*(1,05)^n
cette suite est une suite geometrique de raison 1,05 (donc raison differente de 1).

S est la somme des 21 premiers termes de la suite W.
comme la raison est differente de 1 on a :
S=5000*[1-1,05^21]/[1-1,05]=(5000/-0,05)*(1-1,05^21)=100000*[1,05^21-1]=100000*[1,05*(1,05)^20-1]=105000*1,05^20-100 000=C(20).

a+

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