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Levée des formes indéterminées du type 0/0

Posté par andrewnash (invité) 01-04-06 à 22:26

Je ne vois pas comment lever les formes indéterminées de ces limites :

lim(x->1) (x-1)/(x^n - 1)

lim(x->1) (x^4 + x^3 - 2)/(x^3 + x^2 -2)

lim(x->3) (x-3)/(x-1- sqrt(x+1))

lim(x->0) (1 - sqrt(1+x²))/x²

lim(x->1) (1 - sqrt(x))/(1 - sqrt(x))

Expliquez-moi les méthodes, car j'ai déjà les résultats.

Merci d'avance !

Posté par
ciocciure : Levée des formes indéterminées du type 0/0 01-04-06 à 22:39

salut
pour la 2 faut factoriser en haut et en bas par (x-1)
en disant  x^4 + x^3 - 2=(x-1)(ax^3+bx²+cx+d) et développent et identifiant membre à membre  puis idem avec le dénominateur
pour celle avec des sqrt il faut multiplier en haut et en bas par l'expression conjuguée pour retrouver (a-b)(a+b)=a²-b²
la dernière se simplifie car c'est la même chose en haut et en bas
bye

Posté par
pgeodre : Levée des formes indéterminées du type 0/0 01-04-06 à 22:47

pour la 1) tu remplaces 1 - xn par (1 - x) (1 + x + x² + ... + xn-1). tu simplifies ensuite par (1 - x)en haut et en bas.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Levée des formes indéterminées du type 0/0 02-04-06 à 05:44

Bonjour,

Les méthodes ci-dessous permettent de lever la plupart des indéterminations vues au lycée. Il peut arriver qu'il soit nécessaire d'en combiner plusieurs, ou encore que plusieurs permettent indépendamment de résoudre l'exercice.

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

Quand 3$x\to +\infty, 3$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1

(2) [à condition d'avoir déjà vu en cours la notion de dérivée] reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{e^{x^2}-1}{x^2}=\frac{e^{x^2}-e^0}{x^2-0}\to \exp'(0)=\exp(0)=1

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

Quand 3$x\to +\infty, 3$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0

(4) dans le cas de la limite en un réel d'une fraction de polynômes, factoriser numérateur et dénominateur

Quand 3$x\to 1, 3$\frac{x^4+x^3-2}{x^3+x^2-2}=\frac{(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)}{(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+2x+2}\to\frac{7}{5}

(5) utiliser les formules trigonométriques

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{x}=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\sin x}{x}\to\sqrt{2}
Remarque : sur cet exemple, on aurait également pu utiliser la méthode (2).

(6) reconnaître une limite connue

Quand 3$x\to +\infty, 3$x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2

Exemples de limites connues :
3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}, 3$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0

(7) [hors programme] Règle de L'Hôpital
Théorème. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur ]a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que f(b)=g(b)=0 et que pour tout x de ]a, b[, g'(x)\neq 0. Alors, sous réserve d'existence de la seconde limite :
3$\lim_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Théorème. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur ]a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que \lim_{x\to b}f(x)=\lim_{x\to b}g(x)=+\infty et que pour tout x de ]a, b[, g'(x)\neq 0. Alors, sous réserve d'existence de la seconde limite :
3$\lim_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Nicolas

Posté par andrewnash (invité)re : Levée des formes indéterminées du type 0/0 02-04-06 à 16:48

Merci beaucoup de votre aide !

Posté par
Nofutur2re : Levée des formes indéterminées du type 0/0 02-04-06 à 16:50

Un grand bravo à Nicolas_75 pour sa liste de règles claires et complètes ..

Posté par philoux (invité)re : Levée des formes indéterminées du type 0/0 02-04-06 à 16:58

En effet, Nofutur2, belle synthèse qui mériterait d'être dans les fiches de maths...

Philoux

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Levée des formes indéterminées du type 0/0 02-04-06 à 17:09

andrewnash >> Je t'en prie.

Nofutur2, philoux >> merci de vos appréciations sympathiques.

Posté par
borneore : Levée des formes indéterminées du type 0/0 12-09-06 à 09:51

Bonjour, je me permets de faire remonter ce topic dont je me sers souvent ces derniers temps, car beaucoup de monde travaille sur les limites et les levées des formes indéterminées.
Donc je vous conseille de le mettre dans vos favoris avant qu'il ne disparaisse à nouveau dans les profondeurs de l'île.
Je pense en particulier à Florian que le sujet passionne.

Posté par
littleguyre : Levée des formes indéterminées du type 0/0 12-09-06 à 10:48

Bonjour borneo

Nicolas a fait une mise à jour qu'on doit pouvoir retrouver (dans le 6 il y avait une erreur pour (sin x)/x, et il a affiné le 7). On doit pouvoir retrouver sa dernière mouture...

Posté par
littleguyre : Levée des formes indéterminées du type 0/0 12-09-06 à 10:52

J'ai retrouvé la mise à jour, ici : limites

Posté par
borneore : Levée des formes indéterminées du type 0/0 12-09-06 à 10:54

Oups, désolée.

Salut Littleguy, pour moi, ce n'est pas gênant, j'évite de me lancer dans la trigonométrie. Si tu retrouves le topic corrigé, pourras-tu metttre un lien au bas de celui-ci ?

Posté par
borneore : Levée des formes indéterminées du type 0/0 12-09-06 à 10:54

Merci

Posté par
Leonutre : Levée des formes indéterminées du type 0/0 02-10-08 à 19:22

Je me permet juste de corriger un petit point Nicolas :

Sin x/x  Lorsque xO = 1 et non pas 0

Posté par
littleguyre : Levée des formes indéterminées du type 0/0 02-10-08 à 20:30

> Leonut. Bonjour : regarde les posts du 12/09/06, 10:48 et 10:52 ; cette erreur avait été signalée et corrigée : limites

Posté par
borneore : Levée des formes indéterminées du type 0/0 06-10-08 à 00:36

Posté par
mathoufre : Levée des formes indéterminées du type 0/0 10-05-11 à 22:13

Vous pouvez aller jeter un petit coup d'œil ici, il y a plein d'exemples
http://www.maths-france.fr/Terminale/TerminaleS/FichesCours/FormesIndeterminees.pdf


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