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Lieu géométrique

Posté par (invité) 12-05-04 à 15:36

C et C' sont 2 cercles de centre O et de rayons respectifs 4
et 3.
A est un point fixe de C'.
M est un point mobile de C' distinct de A.
La perpendiculaire à (AM) passant par A coupe C en I et J.
On note G le centre de gravité du triangle IMJ.

-Quels sont, a priori , les éléments mobiles de la figure?
-Démontrez que [IJ] et [AB] ont même milieu.
-Déduisez-en que G est un point fixe lorsque M décrit C' et que 2vecteurGO
+ vecteur GA = vecteur nul.
-Quel est le lieu géometrique du milieu de [IJ] lorsque M décrit C'
  privé de A?

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Victor
re : Lieu géométrique 12-05-04 à 15:38

Où est le point B ?

@+

Posté par (invité)re : Lieu géométrique 12-05-04 à 16:21

Le point B est l'intersection entre (IJ) et le cercle C'.

Posté par
Victor
re : Lieu géométrique 12-05-04 à 16:44

Bonjour,

Les points I, J, B et M sont mobiles.


On a : OA=OB=OM.
Soit K le milieu de [AB].
(OK) est la médiatrice de [AB].
(OK) est donc perpendiculaire à (AB) donc à (IJ).
OI=OJ
Donc le point O appartient à la médiatrice de [IJ].
La médiatrice de [IJ] est donc la droite perpendiculaire à (IJ) passant
par O soit (OK). Donc K est le milieu de [IJ].
Il y a peut-être un raisonnement plus simple.

G étant le centre de gravité de IMJ, il est situé au 2/3 de chaque
médiane en partant du sommet. Or (MK) est une médiane de IMJ. Or
(MK) est aussi, d'après la question précédente une médiane de
AMB. O est le milieu de [BM] car AMB rectangle en A.
Donc G est le centre de gravité de AMB.
G est le barycentre de (A;1)(B;1)(C;1) ou encore (A;1)(O;2) d'où
l'égalité vectorielle.

(AO) étant fixe, le point G est lui aussi fixe.

@+

Posté par (invité)re : Lieu géométrique 12-05-04 à 21:34

Pour la 1ere question, ne faut-il pas dire que G est a priori un
point mobile?
Et vous auriez pas une idée pour la derniere question?
Merci !

Posté par (invité)re : Lieu géométrique 12-05-04 à 21:57

Et pour la 2e question  G est le barycentre de (A;1) (B;1) et (M;1)
plutot non? et apres on utilise le théoreme d'associativité
pour ensuite aboutir a (A;1) (O;2) je suppose...

En tout cas merci beacoup Victor !  

Posté par
Victor
re : Lieu géométrique 12-05-04 à 22:06

On a effectivement G est le barycentre de (A;1) (B;1) et (M;1).

Soit K le milieu de [IJ].
On a GK=-1/2 GM (en vecteurs).
Donc K est l'image de M par l'homothétie de centre G et de rapport
-1/2.
Donc si M parcourt le cercle C', le point K parcourt l'image
de ce cercle par cette homothétie, notée h, c'est à dire un
cercle de rayon 3/2=1,5 et de centre l'image de O par h.

@+

Posté par (invité)re : Lieu géométrique 12-05-04 à 22:46

Encore une fois merci Victor !  

Posté par Bisounours (invité)re : Lieu géométrique 25-06-04 à 17:41

j'adore les math  !!!!                               et non
c pas vrai  



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