Bonsoir,

Dans un repère (O,i,j), on note C la courbe représentative de la fonction
f: x (1/4) x² et F de coordonnées (0;1). une droite d de coeff direct m passe par F et coupe C en M1 et M2.
Les tangents à C en M1 et M2 se coupent en I.

1- Après avoir tracé C et qq droites d quelconques passant par F, il semble que la droite d coupe toujours C en deux points distincts M1 et M2.
De plus, il semble que les points I soient alignés, c'est à dire qu'ils soient sur une droite fixe.
Les coordonnées de I dépendent des abscisses de M1 et M2, que nous noterons x1 et x2. Pour trouver x1 et x2, il faut trouver d'abord une équation de d.

a) Vérifier que d a pour équation y= mx+1
b) Vérifiez que x1 et x2 ( s'ils existent) sont solutions de l'équation x²-4mx-4=0
Prouvez que cette équation a toujours deux solutions distinctes x1 et x2 pour tout réel m.


2- Pour prouver le lieu E de I, la piste analytique s'impose.
Il faut donc trouver en foction de x1 et x2, les coordonnées de I. Pour cela on est amené à chercher les coordonées du point d'intersection (s'il existe)
de deux droites: les tangentes en M1 et M2 à C.

a) Trouvez, en fonction de x1, une équation de la tagente en M1, à C et, en fonction de x2, une équation de la tangente
en M2 à C.
b) Pourquoi ces droites sont-elles sécantes?
c) Déduisez en que I a pour coordonnées:

( (x1 + x2)/2 ; ( x1x2)/4 )

d) Trouvez alors que les coordonnées de I en fonction de m et déduisez en que I est un point de la droite d d'équation
y= -1

3- on vient de prouver que si I est un point de E, alors I est un point de d, donc E est inclu dans d. Il reste à répondre
à la question suivante:
Si I est un point de d, est-il un point de E?

Prouvez que la réponse est oui et concluez.


Merci d'avance pour votre aide.