nous alons considérer le repère (A, i, j)
orthonormé.

i est porté par AB.

nous supposons pour simplifier les calculs que le rayon du cercle de centre
A et passant B est égal à 1. Son homothétique qui passe par c a donc
un rayon égal à 2.

dans le repère (A,i,j) :

B a pour coordonnés (1,0)
c a pour coordonnés (2,0)
I a pour coordonnés (cos(a),sin(a)); a est l'angle que fait AI
avec AB.
J a pour coordonnés (2cos(a),2sin(a))

donc

le vecteur BJ a pour composantes (2cos(a)-1,2sin(a))

et le vesteur CI a pour composantes (cos(a)-2,2sin(a))

la droite BJ a pour équation (faites le calcul SVP):

2xsin(a)+(1-2cos(a))y=2sin(a)

la droite cI a pour équation (faites le calcul SVP):

xsin(a)+(2-cos(a))y=2sin(a)

Le point K (x,y) intersection des deux droites doit vérifier:

2xsin(a)+(1-2cos(a))y=2sin(a)
et
xsin(a)+(2-cos(a))y=2sin(a)

la résolution de ce système en x et y donne (faites les calculs SVP):

x= (2+sin(2a))/3
y=2sin(a)/3

avec a E [0,2Pi[

c'est l'équation paramétrée du lieu du point K recherché.

pour trouver une relation entre x et y il faut éliminer (a) entre leurs
expressions.

sin(a)=3y/2 donc sin²(a)=9y²/4

et sin(2a)=3x-2 donc sin²(2a)=(3x-2)²

donc cos²(2a)=1-(3x-2)²

d'autre part cos(2a)=1-2sin²(a)=1-9y²/2

donc (1-9y²/2)²=1-(3x-2)²

soit : (3x-2)²+(1-9y²/2)²=1

Je crois que c'est une cycloïde.

Voila

Je vous prie d'accépter mes remerciements et mes meilleurs voeux
pour 2004.
                                

Le cercle C est le cercle de centre A et de rayon = 1.
Le cercle C' est le cercle de centre A et de rayon = 2.
Dans le triangle AJC:
AI = IJ = 1 et donc IC est médiane de AJ.
AB = BC = 1 et donc JB est médiane de AC.
Le point K est donc le centre de gravité du triangle AJC (comme point
de rencontre de ses médianes).
On a donc |KC| = (2/3).|IC|   (1)

Choix d'un repère:
A comme origine
La direction AB comme axe des abscisses et la perpendiculaire à l'axe
des abscisses en A comme axe des ordonnées.
On prend |AB| = 1 comme unité pour les 2 axes.

Equation du cercle C: x²+y² = 1
Avec I sur C, on a : I(X ; +/- V(1 - X²))
et on a  C(2 ; 0)

avec (1), on a alors:  K(2- 2(2+X)/3 ; +/-(2/3)V(1 - X²)) ->  K((2/3).(1-X)
; +/-(2/3)V(1 - X²))

Les équations paramétriques du lieu de I sont donc:
x = (2/3).(1-X)
y = +/-(2/3)V(1 - X²)


Il suffit déliminer X entre ces 2 équations.
1-X = (3/2)x
X = 1 - (3/2)x

y = +/-(2/3) V(1 - ( 1 - (3/2)x)²)

y² = (4/9)[1 - ( 1 - (3/2)x)²]
y² = (4/9)(1 - (1 - 3x + (9/4)x²)
y² = (4/9)(3x - (9/4)x²)
y² = (4/3)x - x²
x² - (4/3)x + y² = 0
(x - (2/3))² + y² = 4/9

C'est un cercle de centre (2/3 ; 0) et de rayon = 2/3.
(ce cercle passe par l'origine du repère)

Le lieu de K est donc le cercle qui a son centre O sur le segment [AC]
tel que [AO] = (1/3).[AC] et le cercle passant par le point A.
-----
Sauf distraction.

Pour Watik.

A partir de tes équations:

2xsin(a)+(1-2cos(a))y=2sin(a)
et
xsin(a)+(2-cos(a))y=2sin(a)


La résolution de ce système donne:
x = (2/3)(1+cos(a))
y = (2/3).sin(a)

et pas ce que tu as écrit.

En repartant de là, l'équation du lieu de K que l'on trouve
est la même que celle que j'ai trouvée.

A+

merci J-P

j'ai fait une erreur dans la résolution du système:

2xsin(a)+(1-2cos(a))y=2sin(a)
et
xsin(a)+(2-cos(a))y=2sin(a)

la résolution de ce système en x et y donne en fait
x= (2/3)(1+cos(a))
y=(2/3)sin(a)

avec a E [0,2Pi[

donc sin(a)=3x/2 et cos(a)=(3x/2) -1

sin²(a)+cos²(a)=1 donne:

9x²/4+((3x/2) -1)²=1

en multipliant les deux membres par 4/9 on obtient :

(x-2/3)²+y²=4/9

c'est bien l'équation d'in cercle de centre (2/3,0) et de rayon
2/3.

mes meilleurs voeux pour 2004 à vous Mr. J-P.