Bonjour,

Tu pourrais au moins faire un dessin et considérer le triangle .
Que peut bien représenter pour ce triangle ?

Voilà l'image de la situation avec GeoGebra .



Je ne vois pas ce que représente le point Q pour ARB.

Bonjour

avec une figure exacte ça se verrait mieux !!
ce n'est vraiment pas la peine d'utiliser Geogebra pour mettre des points au pifomètre ...
ton point Q n'est PAS le barycentre défini par l'énoncé., il a été placé au pif sur MB

Bonjour mathafou,
Je te laisse poursuivre...

et puis quand on parle de figure il faut y mettre explicitement tous les codages reflétant ce qui est dit dans l'énoncé
et quand on te parle d'un triangle ARB la moindre des choses serait d'y faire figurer tous ses trois côtés ..
si on ne fait pas ça, la figure ne sert à rien du tout

Bonsoir à tous,
je trouve un peu dommage de ne pas laisser la personne qui a pris le sujet en charge de ne pas le laisser mener le sujet comme il l'entend, chose qui se faisait il fut un temps de manière habituelle
sauf bien sûr en cas d'abandon manifeste de l'aidant pendant un temps disons, ... significatif

mea maxima culpa.

Juste une question à Othnielnzue23:

  On oublie pour l'instant le cercle .

  

Bonsoir ,

Q=Bar{(B,1);(M,2)}

==>

Oui, autrement dit, on est dans cette situation:



et dans cette situation pour le triangle :

  

Que représente pour le triangle ?

Q est le centre de gravité du triangle ARB

Oui, on fait du "visuel". On pourrait être plus rigoureux, mais on va s'en tenir là.

On en déduit immédiatement que est une médiane du triangle



Donc que est le milieu de

Dans la figure, et le cercle sont fixes.

On passe de à par une certaine transformation.

Et de à par une autre.

Lesquelles ?

(car )

Donc  l'homothétie de centre B et de rapport 3/2 transforme le point M en Q.

car M est le milieu de [AR].

Donc l'homothétie de centre A et de rapport 1/2 transforme le point M en R.

juste un mot : toujours et encore la même erreur !!!
inadmissible vu le nombre de fois où tu l'as faite et où on t'a corrigé !

Je crois que ce n'est pas la première fois que tu fais cette erreur:

  Deux homothéties de centre et oui.

Mais tu as inversé les rapports:

   est l'image de dans l'homothétie de centre et de rapport

   est l'image de dans l'homothétie de centre et de rapport

Et le lieu de est donc l'image du cercle de départ par (un cercle qui passe par )

    le lieu de est donc l'image du cercle de départ par (un cercle qui passe par )

Tu peux poster une figure avec les deux cercles image.

Désolé

Le lieu géométrique du point Q est le cercle (C') image du cercle (C) par l'homothétie de centre B et de rapport 2/3 tel que (C')\{A',B'} avec A' et B' les images recpectives de A et B par cette homothétie.

L'image B' de B par cette homothétie est le point B lui même.

O' est tel que

A' est tel que .

Le lieu géométrique du point C est le cercle (C'') image du cercle (C) par l'homothétie de centre A et de rapport 2 tel que (C'')\{A'',B''} avec A'' et B'' les images recpectives de A et B par cette homothétie.

L'image A'' de A par cette homothétie est le point A lui même.

O'' est tel que

B'' est tel que
Pour la construction : Soit O le centre du cercle (C).

*Pour (C')

Je construis les point O' A' et B', images respectives des points O , A et B  par l'homothétie de centre B et de rapport 2/3.

Je trace le cercle (C') de centre O' passant par les points A' et B'.


*Pour (C'')

Je construis les point O'' A'' et B'', images respectives des points O , A et B  par l'homothétie de centre A et de rapport 2

Je trace le cercle (C'') de centre O'' passant par les points A'' et B''.


Pour vérifier , Je place le point (C) n'importe où sur le cercle (C) et je construis les points R et Q.

Je vérifie que Q est constamment sur le cercles (C') et R sur (C'').


Construction

Oui, mais on est tout de même à l'ère du numérique et tu pourrais utiliser GeoGebra pour avoir une belle figure comme celle-ci:

  

J'ai juste utilisé l'outil "homothétie" pour obtenir les deux lieux en rouge sur la figure.

Bonjour,
Mon petit grain de sel :

bonjour,

c'est vrai que :
si on fait une figure papier, on la fait au stylo bille (n'exigeons pas l'encre de chine ) parce que le crayon à papier survit très mal au scan/photo

et la toute première figure avait été faite avec Geogebra !
le fait qu'elle ait été fausse ne voulait pas dire d'abandonner Geogebra, mais de corriger sa mauvaise utilisation !

avec Geogebra si on veut avoir Q = barycentre (B,1), (M,2)
il suffit de taper dans la zone de saisie
Q = (B+2*M)/3       _{(1*B + 2*M)/(1+2))}
et Q est alors exact et juste
contrairement à placer au pif un point Q "à peu près" au 2/3 de [MB] depuis B

méthode valable pour les barycentres d'autant de points qu'on veut avec les coefficients qu'on veut

ou bien, après analyse de ce barycentre pour savoir qu'il est au 2/3 de [MB], de le définir avec l'outil "Homothétie":

avec cet outil actif, on clique sur M, on clique sur B et on tape 2/3 dans la boite de dialogue
(ou bien on tape la commande Homothétie dans la zone de saisie pour ceux qui préfèrent taper des commandes plutôt que cliquer)

et pareil avec cet outil Homothétie pour :
obtenir les centres des cercles image, etc

bref tout ça pour faire des constructions exactes avec Geogebra et ne pas placer ses points au pif à peu près.

Bonjour Sylvieg

Celle là je l'attendais plutôt de la part de mathafou.

Très franchement, je sais bien, c'est l'énoncé mais pourquoi priver le cercle de départ des deux points et si ce n'est pour "compliquer" les choses ?

cela a bien été pris en compte en écrivant les lieux sous la forme C' / {A', B'} etc

les points A et B sont exclus parce que si M est en un de ces points R n'est pas défini (intersection de deux droites confondues)
(certes Q l'est ...)

Le seul argument: des intersections de droites qui deviennent "limite" .
Peut-être faut-il en tenir compte ?

Si les points A et B sont privés du cercle (C)  alors leurs images A' et B' sont aussi privés de l'image (C') du cercle (C)  (par cette homothétie).

Merci beaucoup

C'est vrai qu'Othnielnzue23 l'a évoqué, mais de telle manière que ça m'avait échappé :

Messages croisés Othnielnzue23
Dans la phrase que j'ai citée, le "tel que" n'est pas clair.

De même, "A et B sont privés du cercle (C)" ne se dit pas.
On peut dire "A et B sont enlevés du cercle (C)"
Ou : l'image du cercle (C) privé de A et B est le cercle (C') privé de A' et B' ....

J'arrête de m'incruster

dire que quand les droites sont exactement confondues alors par convention leur "intersection" (sic) de ces droites qui sont exactement confondues est la position limite est justement la complication que veut éviter l'énoncé en excluant A et B...

d'ailleurs Geogebra ne s'y trompe pas ; si M est exactement en A ou en B, R est indéfini
placer M exactement en A ou en B à la souris est quasiment impossible
on peut taper M =A en ligne de commande ... (mais ceci détruit la définition de M = Point[c])
ou utiliser l'accroche sur un point de la grille de coordonnées aussi bien pour A que pour M

Peut être que ces trois images pourraient prouver que Q est le centre de gravité de ABR.

Et aussi pour mes vérifications :

Lorsqu'on bouge le point M ,

PS : ici sur mes figures c'est M --> B et pas A, mais c'est pareil.

prouver que Q est le centre de gravité a été fait il y a longtemps dans cette discussion et ce n'est pas en examinant des images mais en calculant des rapports.

D'accord , en posant quel opération ?

Comment devrais-je utiliser le résultat pour ces vérifications ?

prouver que Q est le centre de gravité a été fait ici :
(il est vrai légèrement escamoté en "On pourrait être plus rigoureux, mais on va s'en tenir là. ")

I est le milieu de [AB], donc (RI) est une médiane
et Q le point d'intersection de cette médiane (RI) et de (BM) tel que BQ = 2/3 BM
donc Q est le centre de gravité de ABR et (BM) une médiane

si tu n'est pas convaincu par cette réciproque de
"dans un triangle les médianes se coupent en un point Q tel que BQ = 2/3 BM"
tu peux la démontrer formellement : comme on fait souvent dans ce genre de réciproque en appelant Q' le vrai centre de gravité et en prouvant que Q = Q'

autre façon de faire : par composition d'homothéties judicieusement choisies (hé hé, très bon exercice faisant suite à tous ceux deja fait)

autre méthode encore : par association de barycentres

Je ne suis pas convaincue par le fait que cette réciproque puisse être considérée comme figurant dans un cours, et donc qu'il soit accepté qu'un élève ou un étudiant l'utilise.

Le nœud de cette histoire, me semble-t-il, est de démontrer que M est le milieu de [AR].
Dans ce but, on peut appeler S le symétrique de A par rapport à M.
Démontrer que S est le point d'intersection des droites (IQ) et (AM) est alors facile.

Mais je soupçonne une démonstration plus simple.

je n'ai jamais dit qu'une telle réciproque était dans quelque cours que ce soit !
appeler S le symétrique de A par rapport à M. et démontrer que S est le même point que R, c'est dans le même genre que ce que je disais :

enfin "avec culture" la démonstration instantanée avec le Théorème de Menelaüs ... (!)
... mon enchainement d'homothéties est d'ailleurs une des démonstrations de ce théorème
(là aussi c'est une réciproque , mais Ménelaüs dit bien "si et seulement si")

mathafou , j'aimerais bien faire la vérification ...

la vérification de quoi donc ?

Ah désolé

bein c'est à dire que la vérification que les lieux demandés sont bien les cercles obtenus et construits comme tu l'as dit le 09-06-20 à 12:16, tu l'avais déja faite le 09-06-20 à 14:25
alors je me posais la question de ce que tu voulais bien vérifier de plus

Une tentative pour prouver que est le centre de gravité de :

   donc barycentre de

donc par associativité, barycentre de

et barycentre de par définition.

  donc