bonjour
1a) c'est une propriété fondamentale à connaître sur les barycentres de deux points non alignés : rappelle-là

1b) utiliser le parallélisme des deux plans (ABC) et (PQR)

2) avec Chasles, tu devrais t'en sortir facilement, non ?
si tu es à l'aide avec la composition des barycentres, c'est encore plus simple

on va déjà travailler ces questions-là, non ?

Merci de ta réponse

Alors pour la question 1), la propriété concernant le barycentre de 2 points pondérés que je connais est "Si G est le barycentre de deux points A et B, alors G est sur la droite AB" Ici cela voudrais dire que P est bien sur la droite OA, mais ce n'est pas ce que l'on me demande ...

Ensuite pour la 1)b), je vois très bien sur ma figure le parallélisme entre le plan ABC et PQR car quand j'ai choisi un réel 2 pour remplacer x et trouver mes barycentres, j'ai obtenu a chaque fois 1/3, donc les deux plans sont bien parallèle, mais cela ne suffit pas ( ? enfin je ne pense pas ^^ )

Puis pour utiliser Chasles pour exprmier les différents barycentre, je ne sais pas par où commencer, si je dois faire apparaitre I, mais si je dois faire apparaitre I, par quels vecteur passer ?

Désolé de ne pas pouvoir apporter plus d'éléments de réponse ...

Encore merci

Si G est le barycentre de deux points A et B, alors G est sur la droite AB

exact
et c'est si facile à montrer :
soit (A;a), (B;b) système massique de deux points
ce système admet un barycentre si la somme des masses est non nulle, donc si a+b0
alors G vérifie l'équation

ce qui prouve bien que G est sur la droite (AB)


et l'inverse est vraie aussi
Si G est  sur la droite (AB), alors on peut toujours trouver deux masses a et b telles que G soit le barycentre du système (A;a), (B;b)

d'ailleurs, vectoriellement, si G est sur la droite (AB), alors il existe un réel k tel que , ce qui est l'équivalent de l'équation vue ci-dessus et s'interprète comme G barycentre de (A;1-k), (B;k)
je te laisse terminer

et les deux plans sont parallèles : je vois très bien sur ma figure le parallélisme entre le plan ABC et PQR : c'est heureux, puisque c'est ton énoncé qui te l'impose.
Il faut maintenant passer aux équations.

Donc si j'ai bien compris, il faut que j'utilise la deuxième propriété ( la réciproque) et l'adapter a mes points (O,x) (A,1-x)

Ensuite pour prouver que les deux plans sont parallèle, il suffit de citer l'énoncé ?

Les équations obtenu avec chasles ? Je ne vois pas de quoi partir, de quels relation de vecteurs pour faire apparaitre I ...

on ne prouve pas que les plans sont //, c'est l'énoncé qui nous le dit;
l'énoncé ne nous demande pas de prouver quelque chose qu'il impose. Si tu trouves un jour un énoncé qui le ferait, vérifie la date, il s'agira d'un 1er avril.

Alors on dit simplement "d'après l'énoncé ... " ?

Mais pour la suite je suis bloquer, au niveau de l'utilisation de chasles dans cette figure

oh que oui, tu as l'air d'avoir du mal

OABC tétraèdre
Pl un plan parallèle au plan (ABC) et ne passant pas par O.
P intersection Pl et (OA)
Q intersection Pl et (OB)
R intersection Pl et (OC)
I milieu de [QR]
J milieu de [RP]
K milieu de [PQ]



P est sur (OA), donc il existe x réel tel que
avec Chasles, il vient immédiatement
cette relation peut s'interpréter comme la relation caractéristique du barycentre de (O,x),(A,1-x) : P est le barycentre de (O,x),(A,1-x)

as-tu vu les homothéties : l'homothétie de centre O, de rapport x transforme A en P (car est la caractéristique de cette homothétie)

de plus elle conserve le parallélisme, donc elle transforme B en Q et C en R

donc nous avons aussi



et par un raisonnement analogue, nous pouvons affirmer que
P est le barycentre de (O,x),(A,1-x)
Q est le barycentre de (O,x),(B,1-x)
R est le barycentre de (O,x),(C,1-x)

si tu ne sais pas ce qu'est une homothétie, la démonstration est un peu plus compliquée.

I milieu de [QR] se traduit par


par Chasles, toujours, on établit que

ou encore que

cela s'interprète comme I barycentre de (O,1-x), (B,x/2), (C,x/2)

Médite tout cela et à ce soir, je m'absente

Oui, comme tu l'as très justement remarqué, j'ai beaucoup ( beaucoup etc etc) beaucoup de mal ! ^^ Alors j'ai vu que tu parlais des homothéties, et bien non nous ne l'avons pas vu, mais ce DM a surement pour but de nous introduire la notion d'homothéties, enfin je pense ...

JE vais essayer d'assimiler tout ça, merci beaucoup

L'homothétie est, ici, une translation de B par le vecteur BQ, de A par le vecteur de AP et de C par le vecteur CR ?

non
l'homothétie dans le plan ou dans l'espace est définie par
- un centre qu'on va ici appeler O
- un rapport qu'on va ici appeler x
et la règle qui permet pour tout point M du plan ou de l'espace de calculer son image qu'on appellera ici M' par la relation vectorielle :



imagine cette transformation comme une dilatation autour de O (si x>1), ou une contraction (si 1>x>0) ou même un retournement autour de O (si 0>x)

Donc c'est soit un agrandissement, un rétrécissement, ou alors l'image peut tourner autour du point O ? Désolé mais j'ai vraiment beaucoup de mal avec ce DM

ce qui me rassure, c'est que ça semble être particulier à ce DM, et que tu t'en sors mieux avec les autres DM.

x>1

0<x<1

x<0

mais on va se passer d'homothétie

voilà la situation dans le plan dessiné par les deux droites (OA) et (OB)



il existe un réel x tel que

(AB) et (PQ) sont parallèles

alors (théorème de Thalès) on a aussi

Merci pour ces explications. Je vais voir si je comprends ceci, ce qui n'est pas gagner ...

Tu vas te ficher de moi, me prendre en pitié ou etre désespéré que je comprenne, mais je ne vois pas a quoi répond le dernier message que tu as mis ... Question 2 je pense

Cadeau, parce que les maths, c'est pas le plus important, il y a aussi le soleil et les petits oiseaux :

OABC un tétraèdre
Pl un plan parallèle au plan (ABC) et ne passant pas par O.
P point d'intersection du plan Pl et de (OA)
Q point d'intersection du plan Pl et de (OB)
R point d'intersection du plan Pl et de (OC)

I milieu de [QR]
J milieu de [RP]
K milieu de [PQ].


1)a) Justifier l'existence d'un réel x tel que P est le barycentre du système pondéré {(O,x) ; (A,1-x)}.

P est sur la droite (OA), donc il existe un réel x tel que

Chasles

équivalent à

cette dernière relation est la relation caractéristique du barycentre du système pondéré (O,x), (A,1-x)
Donc P est le barycentre de (O,x), (A,1-x)

  b) Démontrer alors que Q est le barycentre du système pondéré {(O,x) ; (B,1-x)} et que R est le barycentre du système pondéré {(O,x) ; (C,1-x)}.

Dans le plan défini par les droites (OA), (OB), le point P est sur la droite (OA), le point Q est sur la droite (OB), et (PQ)//(AB)
donc d'après le théorème de Thalès

et comme on a posé

on a


ce qui vectoriellement se traduit par

et par la même décomposition grâce à Chasles, on conclut que
Q est le barycentre de (O,x), (B,1-x)

et par un raisonnement tout à fait analogue (il suffit de remplacer B par C, et Q par R), on conclut de même que
R est le barycentre de (O,x), (C,1-x)


2)a) Exprimer I comme un barycentre de O,B et C.
  b) Exprimer J comme un barycentre de O,A et C.
  c) Exprimer K comme un barycentre de O,A et B.
I milieu de [QR] se traduit par

Chasles






et comme





De manière tout à fait analogue, on établit que



3) On considère un réel x différent de 3.
  a) Démontrer que le système pondéré {(O,2x) ; (A,1-x) ; (B,1-x) ; (C,1-x)} admet un barycentre, noté Sx
Pour que S_x existe, il faut que la somme des masses soit non nulle, c'est à dire que 2x+1-x+1-x+1-x0
donc que x3
ce que l'énoncé a pris la précaution d'imposer
c'est pour cela que S_x existe dans les conditions de l'énoncé.

  b)Démontrer que les droites (AI),(BJ) et (CK) sont concourantes en Sx
Utilisation des règles de composition des systèmes pondérés (parfois appelées "associativité du barycentre")

S_x barycentre de {(O,2x) ; (A,1-x) ; (B,1-x) ; (C,1-x)}
on utilise le fait que le point (O,2x) est équivalent aux "deux" points (O,x), (O,x)
donc S_x barycentre de {(O,x) ; (A,1-x) ; (O,x), (B,1-x) ; (C,1-x)}
on regroupe les points
donc S_x barycentre de {{(O,x) ; (A,1-x)} ; {(O,x), (B,1-x)} ; (C,1-x)}
on remplace les groupes par leur barycentre respectif (avec somme des masses)
donc S_x barycentre de {(P,x+1-x) ; (Q,x+1-x) ; (C,1-x)}
simplification
donc S_x barycentre de {(P,1) ; (Q,1) ; (C,1-x)}
on groupe les points
donc S_x barycentre de {{(P,1) ; (Q,1)} ; (C,1-x)}
on remplace les groupes par leur barycentre respectif (avec somme des masses)
donc S_x barycentre de {(K,2) ; (C,1-x)}
donc S_x est sur la droite (KC)

et de la même manière, mais en regroupant les points différemment
S_x barycentre de {(J,2) ; (B,1-x)}
donc S_x est sur la droite (JB)

S_x barycentre de {(I,2) ; (A,1-x)}
donc S_x est sur la droite (IA)

donc S_x est à l'intersection des trois droites (IA), (JB), (KC)

4)a) Étudier la fonction f définie sur R/{3} par :

               f(x)=3-3x/3-x

en fait ta recopie de ton énoncé est erronée, car tu aurais dû utiliser des parenthèses


alors que l'écriture 3-3x/3-x veut dire ceci : , ce qui est très différent

la courbe avec ses variations, ses deux asymptotes



  b) Déterminer le lieu géométrique des points Sx lorsque x décrit R/{3}.
Soit G isobarycentre de (A,B,C)
S_x barycentre de {(O,2x) ; (A,1-x) ; (B,1-x) ; (C,1-x)}
donc
S_x barycentre de {(O,2x) ; (G,1-x+1-x+1-x)}
S_x barycentre de {(O,2x) ; (G,3-3x)}

donc tu établiras que :

donc S_x parcourt la droite (OG), à l'exclusion du point E défini par

Ce point E est approché sans jamais être atteint lorsque x tend vers l'infini, ce qui correspond à l'asymptote horizontale y=3 du graphe de f(x)

J'ai l'air d'un couillon a essayer de comprendre les premières questions, censé etre les plus simple maintenant ... Merci ! tu me sauve la vie, et ma réputation auprès de ma (charmante) prof de math, ainsi que la vie  d'un jeune camarade, mon amis dans cette galère lors de la découverte du sujet ! Merci, merci et merci !







Ps: Merci !