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Lignes de niveau 3.

Posté par
matheux14
26-07-20 à 13:40

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit A et B deux points distincts du plan.

Déterminer et construire l'ensemble (E) des points M du plan tels que : \dfrac{MA}{MB}=2

Réponses

M \in (E) équivaut à

\dfrac{MA}{MB}=2

2MB=MA

2MB-MA=0

Soit G le barycentre des points pondérés (B,2) et (A,-1).

2MG+GB-MG-GA=0

MG+GB-GA=0

C'est là que je bloque..

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 13:41

re
2MB=MA
(2MB)²=MA²
....
et tu reviens à un problème connu

Posté par
carpediem
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 14:11

salut

juste une remarque en passant :

pourquoi y a-t-il équivalence entre 2MB = MA  et  (2MB)^2 = MA^2 ? alors que ce n'est pas toujours vrai ...)

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 15:10

Oui mais ici on travaille avec les distances..

Les distances sont toujours positives..

2MB=MA
 \\ (2MB)²=MA²

Équivaut à MA²-4MB²=0

Pour la suite , il me semble qu'on aura affaire à deux barycentres différents .. non ?

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 15:11

tout à fait
tu es sur la bonne voie

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 15:55

Ok,

2MB=MA
 \\ (2MB)²=MA²

Équivaut à MA²-4MB²=0

Équivaut à (MA-2MB)(MA+2MB)=0

Soit G_{1}=bar{(A,1) ; (B,-2)} et G_{2}=bar{(A,1};(B,2)}

Je ne sais pas quoi faire exactement..

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 16:02

avec des vecteurs...pour cette ligne (MA-2MB)(MA+2MB)=0

eh bien tu introduis G1 dans l'expression de la 1re parenthèse, et G2 dans la 2e et tes expressions vont immédiatement se simplifier

Posté par
carpediem
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 16:13

matheux14 @ 26-07-2020 à 15:10

Oui mais ici on travaille avec les distances..

Les distances sont toujours positives..

2MB=MA
 \\ (2MB)²=MA²

Équivaut à MA²-4MB²=0
  n'est pas suffisant ...

c'est parce que comme l'écrit malou dans son msg de 16h02 on multiplie par MA + 2MB qui est strictement positif donc non nul (car A B) et que la multiplication d'une égalité par un nombre non nul est "réversible"  ... alors que l'élévation au carré n'est pas réversible (on a deux antécédents)

et ici cette multiplication par AM + 2MB est équivalente à l'élévation au carré !!

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 16:27

(\vec{MA}-2\vec{MB}).(\vec{MA}+2\vec{MB})=\vec{0}

(\vec{MG_{1}}+\vec{G_{1}A}-2\vec{MG_{1}}-2\vec{G_{1}B}).(\vec{MG_{2}}+\vec{G_{2}A}+2\vec{MG_{2}}+2\vec{G_{2}B})=\vec{0}

Donc (\vec{MG_{1}}+\vec{G_{1}A}-2\vec{MG_{1}}-2\vec{G_{1}B})=\vec{0} et

(\vec{MG_{2}}+\vec{G_{2}A}+2\vec{MG_{2}}+2\vec{G_{2}B})=\vec{0}

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 17:52

attention...
ce n'est pas \vec 0 à droite, mais 0 (le réel 0)
pourquoi ?
dans membre de gauche qu'as-tu écris comme expression ? (...) . (...) = 0

chaque parenthèse peut se simplifier, car tu as des barycentres

et ensuite tu fais la même erreur que dans le sujet précédent avec Leile...relis ses explications à la fin du sujet

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 20:02

tu t'en sors ?

résumons :

MA/MB=2
MA=2MB
MA²=4MB²
MA²-4MB²=0

or MA²=\vec{MA}²

\vec{ MA}²-4\vec{MB}²=0
(\vec{MA }-2\vec{ MB}).(\vec{ MA}+2\vec{MB })=0

soit I le barycentre de {(A;1), (B;-2)} (le point I sera à déterminer et à placer)
soit J le barycentre de {(A;1), (B;+2)} (le point J sera à déterminer et à placer)

-\vec{MI}.3\vec{MJ}=0

et là tu revois ta leçon sur le produit scalaire pour conclure

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 20:02

Ok,

En réduisant la somme aMA +bMB.

G=bar{(A,a) ;(B,b)} , aMA+bMB=(a+b)MG (tout en vecteurs)..

Du coup on a G_{1}=bar{(A,1) ; (B,-2)} et 
 \\ 
 \\ [tex]G_{2}=bar{(A,1};(B,2)}

Donc \vec{MA}-2\vec{MB}=-\vec{MG_{1}} et \vec{MA}+2\vec{MB}=3\vec{MG_{2}}

Donc M \in (E) équivaut à  -\vec{MG_{1}}.3\vec{MG_{2}}=0

Équivaut à \vec{MG_{1}.\vec{MG_{2}}=0

Donc (E) est le cercle de diamètre [G_{1}G_{2}]

Pour la construction :

\vec{AG_{1}}=2\vec{AB} et \vec{AG_{2}}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}.

Lignes de niveau 3.

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 20:06

matheux14 @ 26-07-2020 à 20:02

Ok,

En réduisant la somme aMA +bMB.

G=bar{(A,a) ;(B,b)} , aMA+bMB=(a+b)MG (tout en vecteurs)..

Du coup on a G_{1}=bar{(A,1) ; (B,-2)} et

G_{2}=bar{(A,1});(B,2)}

Donc \vec{MA}-2\vec{MB}=-\vec{MG_{1}} et \vec{MA}+2\vec{MB}=3\vec{MG_{2}}

Donc M \in (E) équivaut à  -\vec{MG_{1}}.3\vec{MG_{2}}=0

Équivaut à \vec{MG_{1}}.\vec{MG_{2}}=0

Donc (E) est le cercle de diamètre [G_{1}G_{2}]

Pour la construction :

\vec{AG_{1}}=2\vec{AB} et \vec{AG_{2}}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}.

Lignes de niveau 3.

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 20:34

Ah postes croisés ..

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 20:51

bon, ben posts croisés, c'est bien, tu n'as pas eu besoin de mon récapitulatif
très bien, c'est bon !

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 20:55

Bonne soirée !

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau 3. 26-07-20 à 21:13

à toi aussi !



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