Bonsoir, multiplie par la quantité conjuguée ( (x² + 1) + 1) au numérateur et dénominateur et les questions deviendront beaucoup plus simples.

1.a) Tu sais que x>0; donc :
x²>0
x²+1>1
(x²+1)>1 (car la fonction racine carée est croissante sur ]0;+[
(x²+1)-1>0
(x²+1)-1)/x>0 (car x>0; donc tu peux diviser par 0 et le sens de l'inéquation ne change pas).
Donc f(x)>0

Pour montrer x>0, tu remonte de la même façon en partant de x²+1>(x²+1)
tu arrive à la fin à : x>f(x)
D'où 0<f(x)<x

b. Ici tu peux partir de ce que tu cherche et montrer que le résultat est toujours vrai :
1>f(x)>1-1/x
1>((x²+1)-1)/x>(x-1)/x (car 1-1/x=(x-1)/x)
x>(x²+1)-1>x-1 (tu peux le faire car x0 et le signe ne change pas car x>0
x+1>(x²+1)>x
En mettant le tout au carré, tu as : (x+1)²>x²+1>x
donc : x²+2x+1>x²+1>x
Il suffit de prouver que cette égalité est toujours vraie sur ]0;+[ et c'est gagné...

2. Pour les limites il faut utiliser les inéquations précédentes et les théorèmes de comparaison (et le théorème des gendarmes pour la limite en +)

Si tu ne comprends pas je peux te reprendre (tout en sachant que j'ai peut-être utilisé des notions que tu n'as pas vu (je pense surtout à la croissance des fonctions pour expliquer d'où tu sort la première inégalité au 1. a))

Ben si, si on multiplie par la quantité conjuguée, ça donne ça permet de voir que f(x)1) et en l'écrivant que c'est inférieur à 1 mais bon faites comme vous voulez, il y a plein d'autre façons de démontrer les choses.

merci beaucoup pour ton aide nico74
pour le 1)a la suite de '' Pour montrer x>0, tu remonte de la même façon en partant de x²+1>(x²+1)''
c'est :x^2+1> (x^2+1)
      x^2>( (X^2+1)-1)
      X>( (x^2+1)-1)/x
donc :0<f(x)<x   c'est bien ca ?

t'as fais une faute ici "En mettant le tout au carré, tu as : (x+1)²>x²+1>x
donc : x²+2x+1>x²+1>x ''
c'est: (x+1)²>x²+1>x^2 donc x²+2x+1>x²+1>x^2''

merci encore

merci  Glapion pour t'as façon