une idée simple est de l'écrire :
[ (x^n+1 -(n+1)x^p +n)/(x-1)] *[ (x-1)/ (px^p+1 -(p+1)x+1) ]
donc un produit de deux accroissements de fonctions f(x)/g(x) (et chaque accroissement tend vers f '(1)) donc le tout tend vers f'(1)/g'(1)
il n'y a plus qu'à calculer les dérivées.

Nous n'avons pas encore fait les dérivées en classe :'( Il y a surement un autre moyen , le voyez vous ?

salut,
si ta factorisation est correcte
il suffit de compter les n et les p

le numerateur est mal factorise

un peu comme tu as fait
le numérateur xⁿ⁺¹ -(n+1)x^p +n = xⁿ⁺¹ -1 -(n+1) (x^p-1) = (x-1)(xⁿ+..+x+1) -(n+1)(x-1)(x^p-1+...+x+1) =
(x-1)( fois quelque chose qui tend vers n+1 -(n+1)p = (n+1)(1-p)

le dénominateur px^p+1 -(p+1)x+1 = px(x^p-1) - (x-1) =
px(x-1)(x^p-1+...+x+1)-(x-1) = (x-1) (fois quelque chose qui tend vers p²-1)

donc au final, une fois les (x-1) simplifiés le tout va tendre vers
(n+1)(1-p)/(p²-1) mais comme p²-1 = (p+1)(p-1) ça donne -(n+1)/(p+1)

je presente d'abord mes excuses à Glapion

@UsersXcas
Giac/Xcas (Xcas est une interface de Giac) est un logiciel de calcul formel libre et gratuit.
Xcas pour firefox et smartphone : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html
Toutes les installations ici : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/install_fr

E:=x^(n+1)-(n+1)*x^p+n
F:=p*x^(p+1)-(p+1)*x+1
limite(E/F,x,1) // renvoie -(n+1)/(p+1)

n,p:=8,5
factor(E) // (x-1)*(x^8+x^7+x^6+x^5-8*x^4-8*x^3-8*x^2-8*x-8) donc une erreur chez toi
factor(F) // (x-1)*(5*x^5+5*x^4+5*x^3+5*x^2+5*x-1) // ok chez toi

mais je peux aussi me tromper

Glapion 1 Xcas 0

Exact , une petite erreur  : le c'est x^p et non -n
donc ça donne : (x-1) ( x^n + x^n-1 + x^p -nx^p-1  -nx -n )

Voilà ce qu'on a écrit en cours pour la fin ( je m'étais efforcé de ne pas lire la solution )

donc le même chose que moi , ensuite :
1+1+1+1+...+1-n-n-n-n / p+p+p+...+p-1

= (n-p+1).1- p.n /p.p -1  
Le dénominateur j'ai réussi à le trouvé puisque lorsque p=2 , on obtient 4 au dénominateur , lorsqu'il vaut 3 , on obtient 9 . Mais ensuite pour le numérateur je n'ai pas compris ce qu'on a écrit , comment trouvez le : (n-p+1).1-pn  , vous avez une idée ?
Je suis entrain de lire votre solution Glapion , merci , mais ça m'a l'air un peu compliqué :p
Merci à vous deux , en espérant que vous pourriez répondre à mes questions

x^n + x^n-1 + x^p -nx^p-1  -nx -n
x^n + x^n-1 + x^p de p à n il y a n-p+1 termes
-nx^p-1  -nx -n de 0 à p-1 il y a p termes

Après avoir réfléchis un moment sur votre message alb12 , je suppose que :
x^n + x^n-1 + x^p de p à n il y a n-p+1 termes

car : on fait le 1er - le 2eme +1  => n-p+1
et donc de 0  à p-1 il y a p-1 -0 +1 = p

est ce bien comme cela que vous avez fait ? Merci beaucoup

Et donc d'où sort le - pn dans : (n-p+1).1-pn    ,  merci .

-(p termes tous egaux à n)