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Niveau première
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Limite

Posté par
Samsco 20-02-20 à 09:29

Bonjour tlm , besoin d'aide pour ces limites

1)\lim_{x\to 2}(x-2)tan(\frac{\pi}{x})

2) \lim_{x\to 0}\dfrac{1-Cos(x)}{\sqrt{x}}

3)\lim_{x\to 0}\dfrac{Sinx}{1-Cos(x)}

4)\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x+Sinx}{3+2Sinx}

5) \lim_{x\to +\infty}x³(2+Cosx)

6) \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\pi-2x)tanx

7)\lim_{x\to -\infty}2x+Sinx

8) \lim_{x\to \frac{\pi}{2}\atop x< \frac{\pi}{2}}(tanx)²

Posté par
alb12re : Limite 20-02-20 à 09:36

salut,
on attend avec impatience la 9/

Posté par
Samscore : Limite 20-02-20 à 09:37

J'ai pas d'idée pour la 1)

Posté par
Samscore : Limite 20-02-20 à 09:59

Pour la 2) ,j'ai fait

f(x)=\dfrac{1-Cos(x)}{\sqrt{x}}=\dfrac{1-Cos²x}{\sqrt{x}(1+Cosx)}=\dfrac{Sin²x}{\sqrt{x}}*\dfrac{1}{1+Cosx}=\dfrac{\sqrt{x}Sin²x}{x}*\dfrac{1}{1+Cos(x)}=\sqrt{x}*\dfrac{Sinx}{x}*Sinx*\dfrac{1}{1+Cos(x)}

Donc \lim_{x\to 0}f(x)=0*1*0*\frac{1}{2}=0

Posté par
alb12re : Limite 20-02-20 à 10:43

comme d'habitude tu n'as pas droit au taux d'accroissement ?
as tu demande à ton prof si c'est judicieux de faire ces exercices maintenant ?

Posté par
Samscore : Limite 20-02-20 à 10:48

Nan, on est en congé là ,mais je ne suis pas obligé de le faire mtn mais si y a des méthodes sans les dérivés ,je voudrais les connaître

Posté par
alb12re : Limite 20-02-20 à 10:52

si ces exercices sont faits pour utiliser les taux d'accroissements, mieux vaut attendre...

Posté par
Samscore : Limite 20-02-20 à 10:55

Mais la 3) , 4) ,5) ,7) et 8) peuvent se faire sans ça nan?

Posté par
alb12re : Limite 20-02-20 à 12:51

il faudrait plusieurs intervenants pour partager la tâche
Avis aux amateurs !

Posté par
Samscore : Limite 20-02-20 à 12:51

Pour la 5)

x³(2+\cos (x))=2x³+x³\cos x \\ \\ Pour tout x>0 ,on a : -1\leq Cosx\leq 1 <=>- x³\leq x³Cosx\leq x³ <=> x³ \leq 2x³+x³Cosx \leq 3x³ \\ \lim_{x\to +\infty}x³=+\infty \lim_{x\to +\infty}3x³=+\infty \\ Donc \lim_{x\to +\infty}x³(2+Cosx)=+\infty

Posté par
alb12re : Limite 20-02-20 à 12:59

oui mais une seule inegalite suffit
f(x)>=x^3

Posté par
Samscore : Limite 20-02-20 à 13:01

Oui je vois ,on peut procéder ainsi pour la 7) et la 4)

Posté par
alb12re : Limite 20-02-20 à 13:11

oui

Posté par
Samscore : Limite 20-02-20 à 14:10

La derniere est facile

Posté par
alb12re : Limite 20-02-20 à 14:49

en effet.

Posté par
Priamre : Limite 20-02-20 à 18:53

Pour la 1), on pourrait remplacer  tan(/x) par son expression en fonction de tan(/2x) .

Posté par
sihassanre : Limite 20-02-20 à 19:28

Pour 1
On peux faire le changement de  variable
X=pi/2 -pi/x  qui tend vers 0
On utilise alors tan pi/x  = 1/tanX
La lim sera si j ne m trompe -4/pi

Posté par
Priamre : Limite 20-02-20 à 19:34

Je crois que c'est plutôt  4/pi .

Posté par
Samscore : Limite 20-02-20 à 21:33

Priam @ 20-02-2020 à 18:53

Pour la 1), on pourrait remplacer  tan(/x) par son expression en fonction de tan(/2x) .


Je ne connais pas d'expression en fonction de tan (π/x)

Posté par
Priamre : Limite 20-02-20 à 21:50

Non, en fonction de tan(

Posté par
Samscore : Limite 20-02-20 à 21:52

En fonction de tan(π/2x) ,je ne connais la formule

Posté par
Priamre : Limite 20-02-20 à 21:52

Non, en fonction de tan(/2x , c'est-à-dire de la tangente de l'angle moitié.

Posté par
Priamre : Limite 20-02-20 à 21:53

As-tu essayé d'utiliser cette formule ?

Posté par
Samscore : Limite 20-02-20 à 21:54

Je ne connais pas la formule

Posté par
Priamre : Limite 20-02-20 à 22:34

La voici :
tan(2a) = 2tan(a)/[1 - tan²(a)]

Posté par
Samscore : Limite 20-02-20 à 22:36

D'accord

Posté par
Samscore : Limite 20-02-20 à 22:44

Ça donne
(x-2)tan(\frac{\pi}{x})=(x-2)(\dfrac{2tan(\frac{\pi}{2x})}{1-tan²(\frac{\pi}{2x})})

Posté par
Priamre : Limite 21-02-20 à 14:14

Oui.
Maintenant, je te conseille de prendre l'inverse de tout cela et d'étudier le nouveau second membre.

Posté par
Samscore : Limite 21-02-20 à 15:40

f(x)=\dfrac{1-tan²(\frac{\pi}{2x})}{(x-2)(2tan(\frac{\pi}{2x}))}

Posté par
Priamre : Limite 21-02-20 à 16:01

Quand x tend vers 2, 2tan(/2x) tend vers une limite finie; on peut laisser ce terme de côté.
Quant au reste de l'expression, on peut y reconnaître le taux de variation d'une fonction au voisinage de
x = 2 .

Posté par
Samscore : Limite 21-02-20 à 16:07

f(x)=\dfrac{1-tan²(\frac{\pi}{2x})}{x-2}*\dfrac{1}{2tan(\frac{\pi}{2x})}

Posté par
Samscore : Limite 21-02-20 à 16:08

Je ne sais pas si vous êtes au courant mais je n'ai pas encore vu la leçon sur les dérivés

Posté par
Priamre : Limite 21-02-20 à 16:42

C'est vrai. Que faire alors ?

Posté par
Samscore : Limite 21-02-20 à 16:48

Je laisse tomber ,je ferais ça quand on l'aura fait en classe

Posté par
Samscore : Limite 25-03-20 à 09:14

Bonjour tlm , j'aimerais terminer mon sujet maintenant vu qu'on a vu les dérivés

Posté par
Samscore : Limite 25-03-20 à 09:17

Je voudrais faire la 1) la 6) et la 8)

Posté par
Samscore : Limite 25-03-20 à 09:25

Priam @ 20-02-2020 à 18:53

Pour la 1), on pourrait remplacer  tan(/x) par son expression en fonction de tan(/2x) .

Vous parliez de cette expression :

Posté par
Samscore : Limite 25-03-20 à 09:27

\tan(a)=\dfrac{2t}{1-t²} avec t= tan(a/2)

Posté par
Priamre : Limite 25-03-20 à 09:57

Oui.

Posté par
Priamre : Limite 25-03-20 à 10:31

L'idée ici est de faire apparaître un taux d'accroissement. Mais si tu n'en veux pas, tu pourrais poser  /x = /2 - t , avec t 0 .

Posté par
Samscore : Limite 25-03-20 à 12:26

OK après ça je peux faire quoi?
f(x)=\dfrac{1-tan²(\frac{\pi}{2x})}{(x-2)(2tan(\frac{\pi}{2x}))}

Posté par
Priamre : Limite 25-03-20 à 12:46

Ce que tu as écrit là, ce n'est pas f(x), mais 1/f(x). C'est bien.
Pour continuer, il faudrait modifier l'écriture de cette expression pour en dégager un taux d'accroissement.

Posté par
Samscore : Limite 25-03-20 à 12:55

Ça donne

\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{-\tan²(\frac{\pi}{2x})+1}{x-2}

f(2)=-1

f'(x)=(-\tan²(\frac{\pi}{2x}))'=2[\tan(\frac{\pi}{2x})][\tan(\frac{\pi}{2x})]'

Posté par
Samscore : Limite 25-03-20 à 13:01

Ça donne

\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{-\tan²(\frac{\pi}{2x})+1}{x-2}*\dfrac{1}{2\tan(\frac{\pi}{2x})}

g(x)=-tan²(\frac{\pi}{2x})

g(2)=-1

g'(x)=(-\tan²(\frac{\pi}{2x}))'=2[\tan(\frac{\pi}{2x})][\tan(\frac{\pi}{2x})]'

Posté par
Priamre : Limite 25-03-20 à 13:48

Oui. Alors  g'(x) = . . . , puis g'(2) = . . .

Posté par
Samscore : Limite 25-03-20 à 15:23

g'(x)=[\tan(\frac{\pi}{2x})][1+\tan²(\frac{\pi}{2x})]=[\tan(\frac{\pi}{2x})][2+2\tan²(\frac{\pi}{2x})]

g'(2)=4

Posté par
Samscore : Limite 25-03-20 à 15:33

\lim_{x\to 2}(\dfrac{1}{2\tan(\frac{\pi}{2x})}=\dfrac{1}{3})

\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{f(x)}=2

Donc \lim{x\to 2}f(x)=\dfrac{1}{2}

Posté par
Samscore : Limite 25-03-20 à 15:36

\lim_{x\to 2}(\dfrac{1}{2\tan(\frac{\pi}{2x})})=\dfrac{1}{3}

\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{f(x)}=2

Donc \lim_{x\to 2}f(x)=\dfrac{1}{2}

Posté par
Priamre : Limite 25-03-20 à 15:49

La dérivée g'(x) que tu donnes est erronée.

Posté par
Samscore : Limite 25-03-20 à 15:52

Je me suis trompé dsl

\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{-\tan²(\frac{\pi}{2x})+1}{x-2}*\dfrac{1}{2\tan(\frac{\pi}{2x})}

g(x)=-tan²(\frac{\pi}{2x})

g(2)=-1

g'(x)=(-\tan²(\frac{\pi}{2x}))'=-2[\tan(\frac{\pi}{2x})][\tan(\frac{\pi}{2x})]'

\lim_{x\to 2}(\dfrac{1}{2\tan(\frac{\pi}{2x})})=\dfrac{1}{2}

\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{f(x)}=-4*\dfrac{1}{2}=-2

Donc \lim_{x\to 2}f(x)=-\dfrac{1}{2}

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