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Limite et continuité

Posté par
hally
23-10-22 à 19:13

Bonjour Alors voici une question auquel je bloque totalement j'espère que vous puissiez m'aider


Soit f et g deux fonctions définie de [0,1] dans [0,1] et continues sur [0,1] telles que fog=gof
Et on si "a" est une solution de f(x)=x alors g(a) est aussi une solution

1) monter qu'il existe un réel qui appartient à [0,1] tel que f(a)=g(a)

Alors j'ai essayé un raisonnement par l'absurde en posant un fonction h(x)=f(x)-g(x) tel que h(x) différent de 0 mais je n'ai rien trouvé comme contradiction

Posté par
carpediem
re : Limite et continuité 24-10-22 à 10:23

salut

si a est solution de l'équation f(x) = x alors :

f(a) = a donc g o f(a) = g(a) <=> f o g(a) = g(a)

donc g(a) est aussi solution de l'équation f(x) = x

même raisonnement avec l'équation g(x) = x

1/ montrer qu'il existe des entiers a et b tels que f(a) = a et g(b) = b

2/ appliquer le TVI à la fonction h = f - g entre a et b

... à voir ...

Posté par
hally
re : Limite et continuité 24-10-22 à 13:10

Donc si j'ai bien compris je vais poser deux réel a et b tel que a et b appartiennent à [0,1] et g(b)=b et f(a)=a

Si on appliqué le TVI  on a h=f-g est continue sur [a,b] et h(a)=a-g(a) et h(b)=f(b)-b
Mais comment on va monter que h change de signe

Posté par
carpediem
re : Limite et continuité 24-10-22 à 13:28

alors essayer une autre fonction h ... vu qu'on n'utilise pas la condition f o g = g o f

essayer de voir avec h(x) = f o g (x) - g o f(x) ou peut-être simplement h(x) = f o g (x) - x = g o f(x) - x

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite et continuité 25-10-22 à 08:07

Bonjour,
On peut raisonner par l'absurde :
Si f(x) g(x) sur [0;1] alors, par continuité de la fonction g-f, on a g(x) -f(x) qui ne change pas de signe sur [0;1].
On peut supposer que ce signe est positif, sinon on échange f et g.

La fonction continue g-f admet un minimum m sur [0;1].
Et ce minimum m est strictement positif.

On peut démontrer que g(n)(x) nm pour tout n de *.


P.S.

Citation :
Et on si "a" est une solution de f(x)=x alors g(a) est aussi une solution
C'est quoi cette phrase ? Une indication mal recopiée ou autre chose ?



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