salut

si a est solution de l'équation f(x) = x alors :

f(a) = a donc g o f(a) = g(a) <=> f o g(a) = g(a)

donc g(a) est aussi solution de l'équation f(x) = x

même raisonnement avec l'équation g(x) = x

1/ montrer qu'il existe des entiers a et b tels que f(a) = a et g(b) = b

2/ appliquer le TVI à la fonction h = f - g entre a et b

... à voir ...

Donc si j'ai bien compris je vais poser deux réel a et b tel que a et b appartiennent à [0,1] et g(b)=b et f(a)=a

Si on appliqué le TVI  on a h=f-g est continue sur [a,b] et h(a)=a-g(a) et h(b)=f(b)-b
Mais comment on va monter que h change de signe

alors essayer une autre fonction h ... vu qu'on n'utilise pas la condition f o g = g o f

essayer de voir avec h(x) = f o g (x) - g o f(x) ou peut-être simplement h(x) = f o g (x) - x = g o f(x) - x

Bonjour,
On peut raisonner par l'absurde :
Si f(x) g(x) sur [0;1] alors, par continuité de la fonction g-f, on a g(x) -f(x) qui ne change pas de signe sur [0;1].
On peut supposer que ce signe est positif, sinon on échange f et g.

La fonction continue g-f admet un minimum m sur [0;1].
Et ce minimum m est strictement positif.

On peut démontrer que g⁽ⁿ⁾(x) nm pour tout n de *.


P.S.