Niveau première

Limite et représentation graphique d'une fonction.

Posté par
matheux14 24-08-20 à 16:33

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2+\dfrac{x. sin(x)}{1+x²}$ .

Soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1) Démontrer que $\forall x < 0$ , on a : $|f(x)-2| \le -\dfrac{1}{x}$ .

2) En déduire $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ .

3) Interpréter graphiquement le résultat précédent.

Réponses

1) On a : $f(x)=2+\dfrac{x. sin(x)}{1+x²}$ .

* $f(x)-2=\dfrac{x.sin(x)}{1+x²}$ .

$\forall x <0$ , $-1 \le sin(x) \le 1$ .

$-x \ge x.sin(x) \ge x$ car $x < 0$ .

$\dfrac{-x}{1+x²} \ge \dfrac{x.sin(x)}{1+x²} \ge \dfrac{x}{1+x²}$ .

Donc $\forall x < 0$ , $\dfrac{-x}{1+x²} \ge \dfrac{x.sin(x)}{1+x²}$ .

Or $|f(x)-2| \le -\dfrac{1}{x}$ si $\dfrac{1}{x} \le f(x)-2 \le -\dfrac{1}{x}$ ; $\forall x<0$ .

Donc $\forall x < 0$ , $|f(x)-2| \le -\dfrac{1}{x}$ si $f(x)-2 \le -\dfrac{1}{x}$ .

Et on a $\forall x< 0$ , $f(x)-2 \le \dfrac{-x}{1+x²}$ .

Étudions le signe de $(\dfrac{-x}{1+x²})-(-\dfrac{1}{x})$ sur ]-∞ ; 0[.

* $(\dfrac{-x}{1+x²})-(-\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{x³+x}$ .

$Limite et représentation graphique d\'une fonction.$

Donc $\forall x \in ]-\infty ;0[$ , $\dfrac{1}{x³+x} \le 0$ .

$\forall x \in ]-\infty ;0[$ , $\dfrac{-x}{1+x²} < -\dfrac{1}{x}$ .

D'où $\forall x \in ]-\infty ;0[$ , $f(x)-2 < -\dfrac{1}{x}$ .

Du coup $\forall x < 0$ ; $|f(x)-2| \le -\dfrac{1}{x}$ .

2) On sait que $\forall x <0$ , $|f(x)-2| \le -\dfrac{1}{x}$ .

Donc $\forall x< 0$ , $f(x)\le \dfrac{2x+-1}{x}$ .

Or $\lim_{x\to -\infty} \dfrac{2x-1}{x}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x}{x}=2$ .

Donc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=2$ .

3) Je bloque ...

Posté par re : Limite et représentation graphique d'une fonction. 24-08-20 à 16:58

Pour la 3, il suffit de dire que f admet une asymptote horizontale d'équation y=2

Posté par re : Limite et représentation graphique d'une fonction. 24-08-20 à 17:05

Oui , mais je croyais que l'énoncé parlais de la 1ere question ...

Ok merci.

Posté par re : Limite et représentation graphique d'une fonction. 24-08-20 à 17:09

Bonjour,

il y a un peu trop de quantificateurs inutiles à mon goût, et tu t'es vraiment compliqué la vie pour cette première question . Ce que tu peux faire pour éviter de te trimballer tous ces "quelque soit/pour tout", c'est te fixer un x < 0 dès le départ :

"Soit x < 0." ; comme ça si tu montres le résultat, par l'arbitraire sur x, tu l'as pour tout x strictement inférieur.

(1) Tu as bien justifié au départ, mais j'aimerais que tu expliques le passage à cette ligne :

$\dfrac{-x}{1+x²} \ge \dfrac{x.sin(x)}{1+x²} \ge \dfrac{x}{1+x²}$ (pourquoi garde-t-on le sens des inégalités ? ça peut te paraître trivial, mais il faut le dire )

Aussi, peux-tu comparer les quantités x^2+1 et x^2 et en déduire le résultat après la ligne que je cite au dessus ?

(2) Là encore tu te compliques la vie... Tu as obtenu cette inégalité :

$0 \leq |f(x)-2| \le -\dfrac{1}{x}$

si le 0 à gauche est représenté par la fonction constante égale à 0, que peux-tu dire sur cette encadrement quand on passe à la limite ? un certain théorème ne te vient pas à l'esprit ?

Posté par re : Limite et représentation graphique d'une fonction. 24-08-20 à 18:03

Ah ok , c'est clair maintenant , merci Kernelpanic

Posté par re : Limite et représentation graphique d'une fonction. 24-08-20 à 18:23

Je t'en prie, mais peut-être pourrais-tu corriger ces erreurs dans un futur message histoire d'avoir tout juste ?

Posté par re : Limite et représentation graphique d'une fonction. 24-08-20 à 18:36

Ouais

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