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limite fonction trigonometrique avec duplication

Posté par
marvin25 21-02-09 à 12:05

Bonjour,

Je bloque depuis plusieur jours sur une question de mon DM de Maths
Ils faut que je demontre

lim x-> 0( 1- cos x )/ x2 = 1/2

en utilisant une formule de duplication et   lim->0sin x / x = 1

Je n'arrive pas a demarrer aidez moi s'il vous plait!

Marvin25

Posté par
pythamedere : limite fonction trigonometrique avec duplication 21-02-09 à 12:25

Ben si tu connaissais tes formules de duplication, ce serait beaucoup, beaucoup plus facile !!!

Par exemple :

\cos(2x)=1-2\sin^2(x)

D'où \cos(x)=1-2\sin^2(\frac{x}{2})

Et de là :

1-\cos(x)=2\sin^2(\frac{x}{2})

Posté par
marvin25re : limite fonction trigonometrique avec duplication 21-02-09 à 14:07

Je connais mes formules de duplication mais je ne vois pas comment les appiliquer.

Je ne vois pas où vous voulez en venir avec le
1-cos(x)=2sin2(x/2)

Marvin25

Posté par
pythamedere : limite fonction trigonometrique avec duplication 21-02-09 à 14:36

\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{2\sin^2(\frac{x}{2})}{x^2}=2\frac{\sin^2(\frac{x}{2})}{x^2}=2(\frac{\sin(\frac{x}{2})}{x})^2=2(\frac{1}{2}\frac{\sin(\frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})})^2=\frac{1}{2}(\frac{\sin(\frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})})^2

Quand x tend vers 0, \frac{x}{2} tend vers 0 et \frac{\sin(\frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})} tend donc vers 1.

La limite cherchée est donc \frac{1}{2}

Posté par
marvin25re : limite fonction trigonometrique avec duplication 21-02-09 à 14:49

Merci beaucoup!
Merci Pythamede d'avoir passer du temps pour moi

Marvin25


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