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Niveau première
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Limite n

Posté par
Khola22 12-02-20 à 22:19

Bonjour! je désire savoir si \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx.cos2x.cos3x....cosnx}{x^{2}} sera en fonction de n ?
merci a vous

Posté par
Jezebethre : Limite n 12-02-20 à 22:38

Bonjour

L'expression de ce désir n'est-elle pas entéléchique ?...
Plus sérieusement, tu peux déjà regarder pour de petites valeurs de n. Mais au niveau première, ce sera peut-être un peu compliqué. Pourquoi as-tu besoin de savoir cela ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite n 12-02-20 à 22:50

un virus ? : Limites trigonométriques

Posté par
Khola22re : Limite n 13-02-20 à 23:37

Jezebeth Non non  ça marche, je trouve en fin une suite de 12+22+32+....+n2

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite n 13-02-20 à 23:43

tu trouves ça comment ?

Posté par
Khola22re : Limite n 14-02-20 à 00:31

Glapion Par déduction: j'ajoute et je retranche cosx, cos2x, cos3x....cosnx, en même temps je factorise par cosx, cos2x...cosnx, je constate alors que:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosxcos2x...cosnx}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos}{x^{2}}+4cosx(\frac{1-cos2x}{4x^{2}})+9cosxcos2x(\frac{1-cos3x}{9x^{2}})+...+n^{2}.cosx.cos2x...cos(n-1)x(\frac{1-cosnx}{n^{2x^{2}}})
et le tour est joué

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite n 14-02-20 à 10:27

Citation :
je trouve en fin une suite de 12+22+32+....+n2


d'après l'autre topic, il manque un 1/2 devant.
et puis 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6

tu es vraiment en seconde ? tu ne peux pas trouver ça en étant en seconde.

Posté par
Khola22re : Limite n 14-02-20 à 23:43

Glapion Je suis en première, et oui, je sais bien qu'il existe un 1/2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite n 15-02-20 à 07:24

Bonjour,
Si tu es en 1ère, mets à jour ton profil s'il te plait.

Posté par
yassineben200re : Limite n 23-02-20 à 12:00

Khola22 @ 14-02-2020 à 00:31

Glapion Par déduction: j'ajoute et je retranche cosx, cos2x, cos3x....cosnx, en même temps je factorise par cosx, cos2x...cosnx, je constate alors que:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosxcos2x...cosnx}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos}{x^{2}}+4cosx(\frac{1-cos2x}{4x^{2}})+9cosxcos2x(\frac{1-cos3x}{9x^{2}})+...+n^{2}.cosx.cos2x...cos(n-1)x(\frac{1-cosnx}{n^{2x^{2}}})
et le tour est joué



est ce que tu peux un peux plus detailler cela ?

Posté par
FerreSucrere : Limite n 24-02-20 à 17:40

Ce que tu as fait est correct, cependant je ne vois pas pourquoi tu cherches as mettre :

n²cosxcos2x....cos(n-1)(\dfrac{1-cosnx}{n²x²})

Le n² est inutile.
Il suffit rendu là de démontrer que :

\lim_{x\to 0}\dfrac{1-cos(ax)}{x²} = \lim_{x\to 0}\dfrac{asin(ax)}{2x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{a²cos(ax)}{2} = \dfrac{a²}{2}  

Et le tour et joué comme tu dis

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite n 25-02-20 à 08:08

Bonjour,
@FerreSucre,
yassineben200 n'a rien fait. Il demande des détails sur les réponses précédentes.
Il n'avait pas participé à ce sujet avant son message du 23.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite n 25-02-20 à 08:21

Bonjour,
@FerreSucre,
yassineben200 n'a rien fait. Il demande des détails sur les réponses précédentes.
Il n'avait pas participé à ce sujet avant son message du 23.

@yassineben200,
Le message du 14-02-20 à 00:31 utilise cette égalité :

1 - cos(x) cos(2x) cos(3x) ... cos(nx) = (1-cos(x)) + cos(x) (1-cos(2x)) + cos(x)cos(2x) (1-cos(3x)) + ..... + cos(x)cos(2x)...cos((n-1)x) (1-cos(nx))

Posté par
FerreSucrere : Limite n 25-02-20 à 11:30

OuiSylvieg, mais il manquait la fin du raisonnement...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite n 25-02-20 à 12:02

La fin de quel raisonnement ?

Quant au raisonnement à faire pour démontrer

Citation :
\lim_{x\to 0}\dfrac{1-cos(ax)}{x²} = \lim_{x\to 0}\dfrac{asin(ax)}{2x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{a²cos(ax)}{2} = \dfrac{a²}{2}
Bof...

Utiliser \lim_{x\to 0}\dfrac{1-cos(ax)}{(ax)^2} = 1/2 est plus direct.
Se démontre facilement en 1ère si on ne l'a pas dans son cours.

Posté par
FerreSucrere : Limite n 25-02-20 à 13:33

Oui avec le taux d'accroissement. Je comprends mieux pourquoi il mettait le n² devant.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite n 25-02-20 à 13:39

Taux d'accroissement trop compliqué. Connaître la limite en 0 de sin(x)/x suffit.

Posté par
FerreSucrere : Limite n 25-02-20 à 13:55

Avec le taux d'accroissement c'est très simples :

f(x) = 1-cos(ax)
g(x) = (ax)²

\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}} = \lim_{x\to 0}{f'(x)}{g'(x)} = ...

Tu le fais 2 fois et c'est finis. C'est la démonstration de la règle de l'hôpital pour une limite vers a qui se ramene à 0/0.
C'est rapide. Après sinx/x c'est rapide aussi..

Posté par
FerreSucrere : Limite n 25-02-20 à 13:55

Petite erreur :

= \lim_{x\to 0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} = ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite n 25-02-20 à 14:12

Franchement, ces "lim = lim" sans que l'existence des limites écrites soit justifiée avant, ça m'exaspère.

Sinon, en première, on rencontre la limite en 0 de (sin(x))/x juste avant de voir la dérivée de la fonction sinus, puis de la fonction cosinus.
C'est pour ça que je préfère m'appuyer dessus plutôt que sur des nombres dérivés.

Posté par
yassineben200re : Limite n 27-02-20 à 17:27

j'aimerais toujours avoir un peu plus de detailles sur

Khola22 @ 14-02-2020 à 00:31

Glapion Par déduction: j'ajoute et je retranche cosx, cos2x, cos3x....cosnx, en même temps je factorise par cosx, cos2x...cosnx, je constate alors que:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosxcos2x...cosnx}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos}{x^{2}}+4cosx(\frac{1-cos2x}{4x^{2}})+9cosxcos2x(\frac{1-cos3x}{9x^{2}})+...+n^{2}.cosx.cos2x...cos(n-1)x(\frac{1-cosnx}{n^{2x^{2}}})
et le tour est joué

merci...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite n 27-02-20 à 17:34

As-tu compris cette égalité :
1 - cos(x) cos(2x) cos(3x) ... cos(nx) = (1-cos(x)) + cos(x) (1-cos(2x)) + cos(x)cos(2x) (1-cos(3x)) + ..... + cos(x)cos(2x)...cos((n-1)x) (1-cos(nx)) ?

Posté par
yassineben200re : Limite n 27-02-20 à 18:00

pas vraiment

Posté par
yassineben200re : Limite n 27-02-20 à 18:01

c'est ce que je veux comprendre ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite n 27-02-20 à 18:23

Et avec n = 5
1 - cos(x) cos(2x) cos(3x) cos(4x) cos(5x) =
(1-cos(x)) + cos(x) (1-cos(2x)) + cos(x)cos(2x) (1-cos(3x)) + cos(x)cos(2x)cos(3x) (1-cos(4x)) + cos(x)cos(2x)cos(3x)cos(4x) (1-cos(5x)) ?


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