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Niveau première
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Limites trigonométriques

Posté par
Elanbii
12-02-20 à 19:46

Exercice
calculez la limite suivante
\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cos(x)cos2x...cos(xn)}{x^2}
j'ai un devoir maison pour *****si quelqu'un peut m'aider et merci d'avance
(j'ai galérer pour le latex haha)

Tilk_11 >LA gestion du temps c'est ton problème, tout dépendra de ton investissement

Posté par
Elanbii
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 19:55

C'est cos(nx) et pas cos (xn)😅

Posté par
lake
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 19:56

Bonjour,

Tu peux t'inspirer de ceci: Continuité

Posté par
Elanbii
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 19:58

On a pas encore fait la continuité

Posté par
lake
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 20:00

J'ai dit « t'inspirer ». Nul besoin de continuité.

Posté par
Elanbii
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 20:00

J'ai cru que c'était le cours 😶

Posté par
Elanbii
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 20:06

Et pour arriver a cosnx on fais quoi

Posté par
Elanbii
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 20:45

Quelqu'un peut m'aider 🥰???

Posté par
lake
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 21:58

Finalement, je ne vois qu'une démonstration par récurrence:

  Si note l_n=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\prod_{k=1}^n\cos\,kx}{x^2} et en notant P_n(x)=\prod_{k=1}^n\cos\,kx

  On conjecture que l_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{12}

Pour n=1, on a bien l_1=\dfrac{1}{2} et l'initialisation est faite.

Pour l'hérédité, il faut remarquer que:

    1-P_{n+1}(x)=1-\cos\,(n+1)x+\cos\,(n+1)x\,(1-P_n(x))

  On divise les deux membres par x^2 et l'hérédité tombe toute seule.

Un peu filandreux mais je n'ai pas mieux en 1ère (d'autant plus qu'on ne connait pas la récurrence).  

Posté par
Elanbii
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 22:00

Merci beaucoup tu me sauves
Et je connais bien la récurrence
Le truc avant la lim c'est ln?

Posté par
lake
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 22:01

Non \ell_n si tu préfères; juste une notation.

Mais ma solution ne me plait pas du tout ...

Posté par
Elanbii
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 22:03

on a tout fais sauf le logarithme et la continuité

Posté par
lake
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 22:09

et tout ceci en admettant que tu connais cette limite:

   \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos\,x}{x^2}=\dfrac{1}{2}

et que tu es capable de pondre la conjecture.

Ça fait beaucoup ...  

Posté par
Elanbii
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 22:10

Oui oui je connais

Posté par
lake
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 22:21

Pire; quand j'avais écrit ceci il y a deux ans dans l'autre topic:

  

Citation :
Oui, oui, d' ailleurs à titre d' exercice, random pourra calculer:

 \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1-\prod_{k=1}^{n}\cos\,kx}{x^2}\right)



  je suis certain que j'avais une "bonne solution" sous la main à l'époque.

Je suis incapable de la retrouver aujourd'hui La vieillesse est un naufrage...

Pour ce soir, c'est cuit. Je verrai demain...

Posté par
Elanbii
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 22:23

Merci en tout cas pour tout

Posté par
lake
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 22:25

De rien Elanbii

Repasse ici demain, on ne sait jamais...

Posté par
Elanbii
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 22:25

Sauf que je dois déposer mon DM

Posté par
lake
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 22:27

Même si le DM est "déposé", il est toujours intéressant d'avoir une solution.

Posté par
Elanbii
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 22:28

Oui je sais merci
Bonne soirée 😶

Posté par
larrech
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 23:15

Bonsoir,

Il y aurait bien le changement de variable x=\sqrt{u}, ce qui conduirait à évaluer en 0 la dérivée de

u\mapsto -\prod_{k=1}^n\cos\,k\sqrt{u}}

Mais, bon, en Première c'est un peu chaud ...

Posté par
Elanbii
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 23:17

J'ai pas bien compris si tu peux donner un peu plus de détails svp

Posté par
larrech
re : Limites trigonométriques 12-02-20 à 23:27

Appelons f cette fonction , f(u)=-\prod_{k=1}^n\cos\,k\sqrt{u}}

f(0)=-1 , donc \dfrac{f(u)-(-1)}{u} est le taux d'accroissement de f en 0.

A la limite on aura donc la valeur de f' au point u=0

Mais, il est trop tard pour que je poursuive ce soir.

Posté par
lake
re : Limites trigonométriques 13-02-20 à 09:07

Bonjour à tous,

Juste un petit commentaire sur la récurrence:

En passant à la limite dans l'égalité:

     \dfrac{1-P_{n+1}(x)}{x^2}=\cos\,(n+1)x\,\dfrac{1-P_n(x)}{x^2}+\dfrac{1-\cos\,(n+1)x}{x^2}

  on a immédiatement \ell_{n+1}=\ell_n+\dfrac{(n+1)^2}{2}

  qui permet de faire la conjecture: (\ell_n) est la suite de la moitié de la somme des n premiers carrés.

Mais formellement, on ne peut pas écrire cette dernière relation: l'existence de la limite n'est pas assurée.

  >>larrech

Si je comprends bien, tu proposes de dériver un produit de n termes ?


  

Posté par
larrech
re : Limites trigonométriques 13-02-20 à 09:25

lake

Oui. On obtient n termes, chacun de la forme

\cos\sqrt{u}. \cos2\sqrt{u}...\left(\dfrac{k \sin k\sqrt{u}}{2\sqrt{u}}\right)...\cos n\sqrt{u}

et dont la limite en  0 est \dfrac{k^2}{2}

D'où la limite cherchée; L=\dfrac{1}{2} \sum_{1}^{n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}

Posté par
larrech
re : Limites trigonométriques 13-02-20 à 09:30

Citation :
on obtient une somme de n termes, chacun de la forme

Posté par
lake
re : Limites trigonométriques 13-02-20 à 09:46

Ah oui!

Je n'avais pas vu

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites trigonométriques 13-02-20 à 10:08

Bonjour,
Oui, on trouve ainsi la limite à droite.
Puis à gauche par parité

Mais on n'a pas calculé le nombre dérivé de f en 0, mais la limite de la dérivée de f en 0.
En première...

Mais j'ai peut-être mal compris

Posté par
larrech
re : Limites trigonométriques 13-02-20 à 10:26

Citation :
Mais on n'a pas calculé le nombre dérivé de f en 0, mais la limite de la dérivée de f en 0.
En première...


Oui, cela me paraît difficile en première, mais peut-être que Elanbii n'étudie pas en France.

Ensuite, oui, c'est la limite de la dérivée, mais comme  f est continue et dérivable...C'est vrai qu'il faudrait invoquer le théorème  dit "de la limite de la dérivée" . Dur , dur...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites trigonométriques 13-02-20 à 14:03

Avec ce x2 au dénominateur, et surtout avec cette somme de carrés qui est censée apparaître, je soupçonne le rôle d'une dérivée seconde.

Avec C(x) = cos(x)cos(2x)....cos(nx) :
C'(0) = 0 \; et \; C"(0) = -(12+22+ ... +n2)

Comment présenter ça en 1ère ?

Posté par
larrech
re : Limites trigonométriques 13-02-20 à 15:52

En fouillant sur le net, il semble bien que cet exercice soit un grand classique dans l'enseignement secondaire au Maroc.

Une solution élémentaire. Je l'écris pour n=2, mais elle s'extrapole sans peine.

F(x)=\dfrac{1-\cos x \cos 2x}{x^2}=\dfrac{1-\cos^2 x \cos^2 2x}{x^2(1+ \cos x \cos 2x)}=\dfrac{1-(1- \sin^2 x)(1- \sin^2 2x)}{x^2(1+ \cos x \cos 2x)}

( x étant voisin de  0, (1+\cos x \cos 2x) n'est pas nul)

F(x)=\dfrac{\sin^2 x+ \sin^2 2x- \sin^2 x \sin^2 2x}{x^2(1+ \cos x \cos 2x)}= \dfrac{1}{1+ \cos x \cos 2x}\left(\dfrac{\sin^2 x}{x^2}+\dfrac{\sin^2 2x}{x^2}-\dfrac{\sin^2 x\sin^2 2x}{x^2}\right)

et la limite L_2=\dfrac{1}{2}(1+2^2)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites trigonométriques 13-02-20 à 18:36

Ça marche ! Merci larrech

Posté par
alb12
re : Limites trigonométriques 13-02-20 à 18:42

salut, je l'epingle

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites trigonométriques 14-02-20 à 09:29

Bonjour,
J'ai l'impression que la " "bonne solution" sous la main à l'époque " de lake est là :
Limite n
En enlevant les "lim" devant et on a une jolie égalité

Posté par
larrech
re : Limites trigonométriques 14-02-20 à 09:57

Bonjour,

A moins qu'il ne s'agisse de celle-ci
une limite difficile 2

Oubliée de tous, y compris de son auteur...

Posté par
lake
re : Limites trigonométriques 14-02-20 à 10:10

Bonjour à tous,

Je vois que pendant que je m'escrime sur la grille de littleguy, ça turbine ailleurs!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites trigonométriques 14-02-20 à 10:21

Je n'ai pas beaucoup turbiné, juste lu un nouveau sujet

Posté par
carpediem
re : Limites trigonométriques 16-02-20 à 10:41

salut

une autre méthode ...

d_n = 1 - \prod_1^n \cos(kx) = 1 -\prod_1^{n - 1} \cos (kx) + \prod_1^{n - 1} \cos (kx) - \prod_1^n \cos (kx) = d_{n - 1} + [1 - \cos (nx)] \prod_1^{n - 1} \cos(kx)

donc pour tout x non nul on a la relation de récurrence \dfrac {d_n} {x^2} = \dfrac {d_{n - 1}} {x^2} + \dfrac {1 - \cos (nx)} {x^2} \prod_1^{n - 1} \cos (kx)

en connaissant la limite de (1 - cos x)/(x^2) et en passant à la limite  L_n = L_{n - 1} + \dfrac 1 2 n^2

Posté par
larrech
re : Limites trigonométriques 16-02-20 à 10:46

Bien vu !

Le coup du + et du -, le couteau suisse du mathématicien.

Posté par
lake
re : Limites trigonométriques 16-02-20 à 11:58

Bonjour,

Bien vu, pas sûr:

  

Citation :
en connaissant la limite de (1 - cos x)/(x^2) et en passant à la limite  L_n = L_{n - 1} + \dfrac 1 2 n^2


Déjà dit plus haut avec la restriction qui fiche tout par terre:

  
Citation :
on a immédiatement \ell_{n+1}=\ell_n+\dfrac{(n+1)^2}{2}

  qui permet de faire la conjecture: (\ell_n) est la suite de la moitié de la somme des n premiers carrés.

Mais formellement, on ne peut pas écrire cette dernière relation: l'existence de la limite n'est pas assurée.

Posté par
carpediem
re : Limites trigonométriques 16-02-20 à 12:29

j'attendais cette objection : il suffit de l'écrire dans l'hypothèse de récurrence (du choix de la bonne affirmation !!!) et de le vérifier au rang 1 (et/ou 2)



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