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limite pour ferresucre

Posté par
malou Webmaster
16-02-20 à 11:08

Bonjour
Déterminer la limite en 0 de \dfrac{\cos x -1 }{x^2}

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 11:28

On pose :

f(x) = cosx
g(x) = x²

f et   g   sont dérivables.
Sur \R.

On a :

\lim_{x\to 0}\dfrac{cosx - 1}{x²}

= \lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}}

= \lim_{x\to 0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}

= \lim_{x\to 0}\dfrac{-sinx}{2x}

On pose :

h(x) = -sinx
s(x) = 2x

h et s sont dérivables sur \R.

On a :

= \lim_{x\to 0}\dfrac{-sinx}{2x}

= \lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{h(x)-h(0)}{x-0}}{\dfrac{s(x)-s(0)}{x-0}}

= \lim_{x\to 0}\dfrac{h'(x)}{s'(x)}

= \lim_{x\to 0}\dfrac{-cosx}{2}

cos(0) = 1

= \lim_{x\to 0}\dfrac{-cosx}{2} = \dfrac{-1}{2}

La justification est correcte ?

Posté par
Pirho
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 11:37

Bonjour,

FerreSucre pas besoin de la règle de  l'Hôpital


il suffit de savoir que 1-cos(x)=... et c'est pratiquement terminé

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 11:56

Euh y'a pas vraiment d'équation qui simplifie ça ?
1-cos(x) = 2sin²(\dfrac{1}{2}x)

1-cos²(x) = sin²(x)

Ah moins que je loupe quelque chose mais je sais pas.

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 12:06

je ne vois pas ce que vient faire le mot équation ici

Citation :
Ah moins que je loupe quelque chose mais je sais pas.

et si parfois tu prenais le temps de la réflexion.....

Posté par
littleguy
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 12:07

Bonjour,

La première permet de conclure.

Posté par
Pirho
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 12:08

d'où
malou > *****je lui supprime ! ****mais il l'a peut-être vu *****

Posté par
littleguy
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 12:08

Pardon.

Posté par
Pirho
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 12:09

bonjour  malou,  littleguy

sorry, pas vu vos réponses!!

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 12:15

pas de souci, bonjour à tous les deux
dans la mesure où FerreSucre veut des exos pour réfléchir, je pense qu'il ne faut pas lui donner les clés trop rapidement....il m'a l'air de beaucoup zapper....

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 12:20

Ah bah ça c'est sur je loupe toujours un truc cependant ma démonstration est bonne au début après je réfléchis au :

1-cosx = ...

De larech.

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 12:47

Franchement je vois pas ce que l'on peut en faire à part poser :

\dfrac{cosx-1}{x²} = \dfrac{-2sin²(1/2*x)}{x²}

Non là vraiment j'ai pas x) je cherche depuis tout à l'heure...

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 12:51

tu es sur la bonne voie
continue à bien le regarder et à te demander ce que tu es censé connaître pour t'en sortir....

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 12:56

Rassurez moi y'a pas de limites connus à utiliser pour la technique de Pirho ?
J'en connais que très peu et aucune sur les fonction trigo.

malou Je le regarde.

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 13:03

On est sensé savoir que :

\lim_{x\to 0}\dfrac{sin(ax)}{x} = a

a \in \R

?

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 13:08

c'est celle là qui est connue
\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} = 1
mais qui se démontre en 1 ligne si on ne l'a pas apprise

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 13:10

Parce que si on connais ça on peut :

\dfrac{cosx-1}{x²} = \dfrac{-2sin²(1/2*x)}{x²}

(-2)*\dfrac{cosx-1}{x²} = \dfrac{sin²(1/2*x)}{x²}

\sqrt{(-2)*\dfrac{cosx-1}{x²}}= \dfrac{sin(1/2*x)}{x}

\lim_{x\to 0}\dfrac{sin(1/2*x)}{x} = 1/2

\lim_{x\to 0}\dfrac{cosx-1}{x²}= (-2)*\left(\dfrac{1}{2}\right)²

 \lim_{x\to 0}\dfrac{cosx-1}{x²} = -1/2

Si c'est ça je suis pas trop fan, la racine carrée me pertube si c'est négatif fin je sais pas.

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 13:13

Oui bah :

f(x) = sinx

\lim_{x\to 0}\dfrac{sinx}{x}

= \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(x)

= \lim_{x\to 0}cosx = 1

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 13:16

Et si on rajoute le :
a \in \R :

f(x) = sin(ax)

\lim_{x\to 0}\dfrac{sin(ax)}{x}

= \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(x)

sin'(ax) = a*cos(ax)

= \lim_{x\to 0}a*cos(ax) = a

Car cos(a*0) = 1

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 13:19

aucune racine carrée à utiliser

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 13:23

Bah :

\lim_{x\to 0}\dfrac{sin(1/2*x)}{x} = a

\lim_{x\to 0}\dfrac{sin²(1/2*x)}{x²} = a²

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 13:26

Ducoup c'était ça ? La technique de Pirho ?

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 13:36

alors, de tout ce fatras....tu écris quoi de la 1re à la dernière ligne ? que gardes-tu, que jettes-tu ?

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 13:41

alors :

\dfrac{cosx-1}{x²} = \dfrac{-2sin²(1/2*x)}{x²}

(-2)*\dfrac{cosx-1}{x²} = \dfrac{sin²(1/2*x)}{x²}

Or :

\lim_{x\to 0}\dfrac{sin²(ax)}{x²} = a²

Ici :

a = 1/2
a² = 1/4

(-2)*\dfrac{cosx-1}{x²} = 1/4

\dfrac{cosx-1}{x²} = -2*1/4 = \dfrac{-1}{2}

C'est ça normalement.

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 13:43

Zut j'ai oublié les limites :

\lim_{x\to 0}(-2)*\dfrac{cosx-1}{x²} = 1/4

\lim_{x\to 0}\dfrac{cosx-1}{x²} = -2*1/4 = \dfrac{-1}{2}

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 14:07

FerreSucre @ 16-02-2020 à 13:41

alors :

\dfrac{cosx-1}{x²} = \dfrac{-2sin²(1/2*x)}{x²} tu passes comment de cette ligne à la suivante ?

(-2)*\dfrac{cosx-1}{x²} = \dfrac{sin²(1/2*x)}{x²}

Or :

\lim_{x\to 0}\dfrac{sin²(ax)}{x²} = a² n'est pas une limite de référence

.......
C'est ça normalement.

FerreSucre @ 16-02-2020 à 13:43

Zut j'ai oublié les limites :

\lim_{x\to 0}(-2)*\dfrac{cosx-1}{x²} = 1/4 à nouveau comment tu passes de cette ligna à la suivante ?

\lim_{x\to 0}\dfrac{cosx-1}{x²} = -2*1/4 = \dfrac{-1}{2}

Posté par
vham
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 14:18

Comment, FerreSucre, pouvez-vous écrire sans sursauter :

Citation :
\dfrac{cosx-1}{x²} = \dfrac{-2sin²(1/2*x)}{x²}

(-2)*\dfrac{cosx-1}{x²} = \dfrac{sin²(1/2*x)}{x²}

Et ensuite vous raccrocher

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 14:45

Effectivement je sais pas ce que j'ai foutu là c'est grave !   J'ai cru que c'était une addition on va dire x).

alors :

\dfrac{cosx-1}{x²} = \dfrac{-2sin²(1/2*x)}{x²}

\dfrac{1}{-2}*\dfrac{cosx-1}{x²} = \dfrac{sin²(1/2*x)}{x²}

Or :

\lim_{x\to 0}\dfrac{sin²(ax)}{x²} = a²

Ici :

a = 1/2
a² = 1/4

\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{-2}*\dfrac{cosx-1}{x²} = 1/4

\lim_{x\to 0}\dfrac{cosx-1}{x²} = -2*1/4 = \dfrac{-1}{2}

On a rien vue entre nous.

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 14:49

je t'ai dit que je n'en voulais pas de ça

Citation :
\lim_{x\to 0}\dfrac{sin²(ax)}{x²} = a²

tu es têtu, moi aussi
fais sans....je t'ai dit laquelle utiliser...tu nous lis ?

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 14:52

Si on voulait revenir à :

\lim_{x\to 0}\dfrac{sinx}{x}

Avec :

\lim_{x\to 0}\dfrac{sin(ax)}{x}

On effectue le changement de variable suivant :

X = ax

De tel façon que :

\lim_{X\to 0}\dfrac{sin(X)}{1/a*X}

a * \lim_{X\to 0}\dfrac{sin(X)}{X}

Ainsi :

a * \lim_{X\to 0}\dfrac{sin(X)}{X} = a

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 14:54

Oui j'ai vue ton message mais j'étais entrain d'écrire la suite.

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 14:55

la dernière ligne est quand même une lapalissade...
tu te précipites toujours....

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 15:01

Qu'est-ce qu'elle a ma dernière ligne encore...

Il manque :

\lim_{x\to 0}\dfrac{sin(ax)}{x} = a

\lim_{x\to 0}\dfrac{sin²(ax)}{x²} = a²

On est toujours pas bon là ? :(

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 15:06

à 14h52, arriver glorieusement à a * \lim_{X\to 0}\dfrac{sin(X)}{X} = a n'avait aucun intérêt quand on s'arrête là....tu es d'accord ?

t'as quand même réussi à faire un sacré sac de nœuds avec ce petit exo qui tient en très peu de lignes.

Posté par
vham
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 15:09

et cela n'a aucun sens quand vous écrivez

Citation :
De telle façon que :

\lim_{X\to 0}\dfrac{sin(X)}{1/a*X}

a * \lim_{X\to 0}\dfrac{sin(X)}{X}

Ainsi : ...
Il manque une égalité entre les 2 termes et vous seul pouvez vous comprendre

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 15:14

Yes bien vue vham petit oublie de =. Bah 2 techniques pour avoir la limite en 0 , et oui c'est un sac de noeuds x) .

On se refait une petite limite malou , faut que je m'entraîne !

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 15:15

Je vais essayer de le faire niquel, t'auras rien à dire ! x)

Posté par
carpediem
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 15:43

FerreSucre @ 16-02-2020 à 15:15

Je vais essayer de le faire niquel, t'auras rien à dire ! x)
ça m'étonnerait ...

car sur tes n msg 90 % comportent une erreur ou(/et) manquent de rigueur car non justifié ...

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 15:51

Ouais mais 10% sont justes !

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 15:54

donc tu ne dois pas être loin du % du balayeur à qui on donne le QCM de médecine à faire pour mettre la barre du 0 ....

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 16:04

J'ai pas trop compris ton message malou.

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 16:05

Ducoup tu as pad une petite autre limite à calculer dans ton sac ?

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 16:11

FerreSucre @ 16-02-2020 à 16:04

J'ai pas trop compris ton message malou.

il était une époque où de nombreux sujets du concours de médecine étaient faits sous forme de QCM
et ils partaient du principe qu'en répondant au hasard, on pouvait avoir des réponses justes (ce qui est vrai)
et il se disait que, le QCM était fait par le balayeur, on dirait aujourd'hui le technicien de surface, et que s'il avait mettons 10 réponses justes pour 100 questions posées, eh bien tout étudiant qui avait 10 réponses justes ou moins obtenait la note 0
voilà...tu sais tout...

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 16:19

Logique mdr si ta 10/100 ta 0 à un examen

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 16:19

FerreSucre @ 16-02-2020 à 16:19

Logique mdr si ta 10/100 ta 0 à un examen

Posté par
FerreSucre
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 16:42

(Je me relis pas aussi )on considère que tu as 0.

Posté par
Pirho
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 18:11

FerreSucre

il suffisait d'écrire

-\dfrac{1-cos(x)}{x^2}=-\dfrac{2sin^2(\dfrac{x}{2})}{(\dfrac{2x}{2})^2}=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{sin(\dfrac{x}{2})}{\dfrac{x}{2}}\right)^2

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 18:14

eh oui....tu comprends pourquoi je l'ai vite supprimé tout à l'heure

Posté par
Pirho
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 18:23

oui,

p.s : je ne me suis pas souvenu comment rapprocher l'exposant 2 de la parenthèse; j'ai oublié comment on fait

Posté par
malou Webmaster
re : limite pour ferresucre 16-02-20 à 18:33

ben tu me poses une colle là...

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