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Limites

Posté par
Laura29 13-03-16 à 13:07

Bonjour je dois trouver une limite mais je n'y arrive pas ... Pourriez vous m'aider ?
Lim en x->1 de (3(x-1)^2+x^2-1)/(2x^2-5x+3)

Posté par
Titounatorre : Limites 13-03-16 à 13:09

Bonjour,
\frac{3(x-1)^2+x^2-1}{2x^2-5x+3}
je te conseille de factoriser numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré.

Posté par
Laura29re : Limites 13-03-16 à 13:18

Par x^2 ? J ai essaye maos cela n'aboutit pas ....

Posté par
zTonyre : Limites 13-03-16 à 13:22

Bonjour,

Tu remarques que la limite est une forme indéterminée de la forme : \frac {0}{0}
Dans ce cas, tu dois factoriser.

Cela signifie que le polynôme de 2nd degré du numérateur a une racine égale à 1, même chose pour le dénominateur.
Cela signifie donc que numérateur et le dénominateur sont chacun factorisables par (x-1).

En effet, petit rappel de cours:
On se place dans le cas où il y a 2 deux racines.
ax^2 +bx+c = 0 \Leftrightarrow Solution = \left \{ x_1;x_2} \right \}, a \neq 0
Alors :
ax^2 +bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)

Ainsi, en revenant à l'exercice, on factorise le dénominateur par exemple:
2x^2-5x+3=(x-1)(2x-3)
Pour trouver cette factorisation, il suffit de poser 2x^2-5x+3=(x-1)(ax+b) et comme tu sais que x\times ax = 2x^2 et -1\times b=3 tu en déduit a et b.

Fait de même pour le numérateur, puis simplifie par (x-1) et calcule la limite en 1.

Posté par
Laura29re : Limites 13-03-16 à 13:26

Merci pour votre aide pour le dénominateur je trouve 1 et 3/2 mais à quoi cela me sert il ????

Ensuite pour le numérateur je ne vois pas trop comment m'y prendre

Posté par
zTonyre : Limites 13-03-16 à 13:32

Tu n'as pas bien compris ce que je voulais dire je pense
Pour le rappel de cours, je voulais juste t'expliquer pourquoi on pouvait factoriser, mais ut peux l'oublier pour cet exercice.

Ce que tu dois retenir c'est (pour le dénominateur)
2x^2-5x+3=(x-1)(2x-3)

Pour le numérateur, développe tout pour trouver un simple polynôme du 2nd degré (donc de la forme ax^2+bx+c)
Ensuite, factorise par (x-1) comme j'ai fait pour le dénominateur.

Posté par
mdr_nonre : Limites 13-03-16 à 13:40

bonjour : )

Un facteur commun est bien évident au numérateur, alors à ne pas développer sauf si tu veux vraiment faire des calculs en plus.
Pour le dénominateur tu peux aussi passer par le discriminant.

Posté par
zTonyre : Limites 13-03-16 à 13:45

Ha oui en effet je n'avais pas fait attention

Posté par
Laura29re : Limites 13-03-16 à 14:11

Donc pour le dénominateur je trouve pour le discriminent 1 et 3/2 ensuite pour le numérateur je ne vois toujours pas ...

Posté par
zTonyre : Limites 13-03-16 à 14:19

Bon,

Tu as:
\frac{3(x-1)^2+x^2-1}{2x^2-5x+3}=\frac{3(x-1)^2+(x^2-1)}{(x-1)(2x-3)}

Tu reconnais une identité remarquable pour x^2-1, puis tu factorise par (x-1) et tu simplifie par (x-1). Tu fais la limite de la fonction.

Posté par
Laura29re : Limites 13-03-16 à 15:00

Cela fait ((x-1)^2+x^2)/(2x-3) ????

Posté par
zTonyre : Limites 13-03-16 à 15:05


\frac{3(x-1)^2+x^2-1}{2x^2-5x+3}=\frac{3(x-1)^2+(x^2-1)}{(x-1)(2x-3)}

Non :
Pour le dénominateur :
3(x-1)^2+(x^2-1)=3(x-1)^2 +(x-1)(x+1)=(x-1)[3(x-1)+x+1]

Posté par
Laura29re : Limites 13-03-16 à 15:16

Pour le dénominateur c est alors (x-1) (2x+3) tout simplement ?

Posté par
zTonyre : Limites 13-03-16 à 15:25


\frac{3(x-1)^2+x^2-1}{2x^2-5x+3}=\frac{3(x-1)^2+(x^2-1)}{(x-1)(2x-3)}=\frac{3(x-1)^2 +(x-1)(x+1)}{(x-1)(2x-3)}=\frac{(x-1)[3(x-1)+x+1]}{(x-1)(2x-3)}=\frac{(x-1)(4x-2)}{((x-1)(2x-3)}=\frac{4x-2}{2x-3}

Posté par
Laura29re : Limites 13-03-16 à 15:36

La limite est donc -2 ?

Posté par
zTonyre : Limites 13-03-16 à 15:38

Oui

Posté par
Laura29re : Limites 13-03-16 à 16:19

Merci beaucoup pour votre aide je pense avoir bien compris cette fois 😉

Posté par
mdr_nonre : Limites 13-03-16 à 19:05

bonne continuation : )


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