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Limites

Posté par
benitoelputoamo 09-06-06 à 17:27

Bonjour,

Pourriez-vous m'aider?

Comment pourrait-on étudier ces limites?

3$ \rm\fbox{\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} \\ et \\\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+sin x}{x}}

Merci d'avance.
BenoîtLimites

Posté par
Nightmarere : Limites 09-06-06 à 17:30

Bonjour

3$\rm \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}

Conclus

La deuxième :

-1donc 2x-1 < 2x+sin(x) < 2x+1
et par conséquent pour x positif :
(2x-1)/x < (2x+sin(x))/x < (2x+1)/x

Les deux expressions qui encadrent (2x+sin(x))/x convergent vers un même nombre que je te laisse trouver. Conclus avec le théorème des gendarmes

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limites 09-06-06 à 17:31

Bonjour,

Pour la première : quantité conjuguée.
Pour la seconde : division du numérateur et du dénominateur par x

Nicolas

Posté par
Skopsre : Limites 09-06-06 à 17:34

Bonjour

3${\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}

3${\lim_{x\to+\infty}\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}

3${\lim_{x\to+\infty}\frac{(x+1)-(x-1)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}

3${\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}

Skops

Posté par
benitoelputoamore : Limites 09-06-06 à 17:43

D'après le théorème des Gendarmes,
puisque
3$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-1}{x}=2
et que
3$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x}=2
alors
3$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+sin x}{x}=2

Merci!
BenoîtLimites

Posté par
benitoelputoamore : Limites 09-06-06 à 17:49

Mais pour la première limite?

Désolé je suis qu'en 3ème

BenoîtLimites

Posté par
Skopsre : Limites 09-06-06 à 17:53

3$\rm\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}

Cela doit t'aider

Skops

Posté par
benitoelputoamore : Limites 09-06-06 à 17:57

Je ne vois pas trop comment faire...

Posté par
Skopsre : Limites 09-06-06 à 18:00

3$\lim_{x\to +\infty} 2=?

3$\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x+1}=?

3$\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x-1}=?

3$\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+1})+(\sqrt{x-1})=?

3$\lim_{x\to +\infty} \frac{2}{(\sqrt{x+1})+(\sqrt{x-1})}=?

Skops

Posté par
benitoelputoamore : Limites 09-06-06 à 18:03

AH!

lim x->+oo (2)=2
lim x->+oo (V(x+1))=+oo
lim x->+oo (V(x-1))=+oo
donc
lim x->+oo (V(x-1)+V(x+1))=+oo
Enfin, le quotient des 2...
lim x->+oo (2/(V(x+1)+V(x-1)))=+oo

J'ai bon?

BenoîtLimites

Posté par
Nightmarere : Limites 09-06-06 à 18:07

Hum non pas vraiment ...

si f(x) tend vers +oo, 1/f(x) tend vers 0 et non vers +oo

Posté par
Skopsre : Limites 09-06-06 à 18:07

Non

Si
3$k\in\mathbb{R}
et
3$\lim_{x\to \infty} f(x)=\infty

3$\lim_{x\to \infty} \frac{k}{f(x)}=0

Skops

Posté par
benitoelputoamore : Limites 09-06-06 à 18:10

Ah, je ne savais pas que le passage à l'inverse changeait la limite...

Merci à vous deux!

BenoîtLimites

Posté par
Skopsre : Limites 09-06-06 à 18:10

De rien

Skops

Posté par
_Estelle_re : Limites 09-06-06 à 18:11

Bonjour,

Benoît : t'as fait les limites tout seul ou t'as quelqu'un qui t'aide ?

Estelle

Posté par
benitoelputoamore : Limites 09-06-06 à 18:12

Même si lim x->+oo (k) = -oo ?
C'est juste pour TOUT k dans IR?

Posté par
benitoelputoamore : Limites 09-06-06 à 18:14

Re Estelle!

Je suis allé sur le site de G. Constantini et je commence à apprendre. Pour que l'instant je ne connais que le second degré, et les fonctions composées.

BenoîtLimites

Posté par
Nightmarere : Limites 09-06-06 à 18:15

benitoelputoamo

Peux-tu me donner un exemple de réel k pour lequel \rm \lim_{x\to +\infty} k=-\infty ?

Posté par
_Estelle_re : Limites 09-06-06 à 18:15

OK merci.

Donc tu fais les limites avant les dérivées...

Bon courage.

Estelle

Posté par
Skopsre : Limites 09-06-06 à 18:17

J'y vais

++

Skops

Posté par
benitoelputoamore : Limites 09-06-06 à 18:17

k=-3x?
puisque k appartient a IR...

Posté par
benitoelputoamore : Limites 09-06-06 à 18:17

Oui... Les dérivées viendront après!

Posté par
_Estelle_re : Limites 09-06-06 à 18:18

Bye Skops.

Tu veux pas me répondre en PV avant... ?

Estelle

Posté par
Nightmarere : Limites 09-06-06 à 18:29

lorsqu'on dit k€R cela veut dire que k est une constante réelle. -3x n'est pas une constante (sauf si l'on fixe x, mais lors d'un calcul de limite, x varie)

Posté par
benitoelputoamore : Limites 09-06-06 à 20:01

Ah d'accord. Merci beaucoup Nightmare et Skops.

Posté par
Skopsre : Limites 09-06-06 à 21:43

De rien

Skops


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