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Limites avec un paramètre réel.

Posté par
Nijiro
07-10-20 à 08:26

Bonjour!

Calculer les limites suivantes:
b. \lim_{x\rightarrow +\infty } \sqrt{x^3+\alpha x^2+x+1} -x \sqrt{x+1} .

=> J'ai calculé cette limite en utilisant le conjugué et ça donne 0. Mais le fait qu'il n'y a pas une discussion des valeurs de   m'embête, je m'en doute. Est-ce que j'ai raté qqch?

c.\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{\sqrt{x^2 -ax} + \sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x-a}}=\lim_{x\rightarrow a^+} \frac{\sqrt{x(x-a)} + \sqrt{(x-a)(x+a)}}{\sqrt{x-a}}=\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{\sqrt{x}.\sqrt{x-a} +\sqrt{x-a}.\sqrt{x+a}}{\sqrt{x-a}}= \lim_{x\rightarrow a^+}\sqrt{x}+\sqrt{x+a}
*a
(vu que xa+ alors x-a>0 , du coup, forcément x et x+a sont positifs.)

Là, je me trompe; j'ai distingué deux cas; lorsque a est positif et lorsque a est négatif:
*si a>0: alors je remplace x par a dans l'expression et ça donne:
 \sqrt{a} +\sqrt{2a}

*si a<0: je n'ai aucune idée... J'ai essayé de chercher la limite de
 (\sqrt{x} + \sqrt{x+a})^2 et après faire la racine mais la limite de cette dernière est négative(ça donne  (2\sqrt{2}+3)a   or, a<0)...

Merci d'avance.

Posté par
alb12
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 08:45

salut,
b/ peux tu montrer tes calculs ?

Posté par
Nijiro
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 09:04

Oui, bien sur:
\lim_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x^3+\alpha x^2+x+1} - x\sqrt{x+1} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^3+\alpha x^2+x+1-x^2(x+1)}{\sqrt{x^3+\alpha x^2+x+1}+x\sqrt{x+1}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{(\alpha-1)x^2 +x+1}{ x^2 (\sqrt{x+\alpha +\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} +\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}})}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\alpha -1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{x+\alpha +\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} +\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}= 0

Posté par
Priam
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 09:25

Bonjour,
En tête du dénominateur de la troisième expression, il faudrait  x  et non pas  x² .

Posté par
Nijiro
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 09:34

Oui oui, je me suis trompé! merci pour la remarque!

Posté par
Nijiro
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 09:35

trompée* ^-^'

Posté par
Nijiro
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 09:50

ça devient:
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{(\alpha -1)x^2+x+1}{x(\sqrt{x+\alpha +\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x+1})}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{(\alpha -1)x+1+\frac{1}{x}}{\sqrt{x+\alpha +\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x+1}}

si =1 alors la limite sera égale à 0.
si alpha1, ça sera une forme indéterminée, on doit alors enlever l'indétermination:
\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{x((\alpha -1)+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})}{x(\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{\alpha }{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}})}= \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{(\alpha -1)+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{\alpha }{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}=\infty;

si >1; alors la limite est égale à +;
si <1; alors la limite est égale à -.

Posté par
Priam
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 10:23

D'accord.

Posté par
alb12
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 10:23

oui 2 remarques:
1/ travailler sur les expressions et passer à la limite au dernier moment
2/ eviter le symbole infini sans son signe

Posté par
Nijiro
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 11:49

D'accord^-^ Merci!
Et à propos de c?

Posté par
alb12
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 12:29

"(vu que xa+ alors x-a>0 , du coup, forcément x et x+a sont positifs.) "
pourquoi ? Que se passe-t-il si par ex a=-5 ?
L'enonce ne precise rien sur a ?

Posté par
Nijiro
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 12:43

Lorsque x tend vers a+, x-a est positif.
Alors:
\sqrt {x (x-a)}\Rightarrow x>0 car x-a est positif.
Et \sqrt{(x-a)(x+a)}\Rightarrow x+a>0 car x-a est positif.

Posté par
Nijiro
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 12:44

alb12 @ 07-10-2020 à 12:29


L'enonce ne precise rien sur a ?

a est un réel.

Posté par
alb12
re : Limites avec un paramètre réel. 07-10-20 à 13:40

si a est strictement negatif alors l'expression n'a pas de limite en a+
je te conseille de prendre a positif

Posté par
Nijiro
re : Limites avec un paramètre réel. 08-10-20 à 08:45

Désolée mais je n'ai pas compris où/comment cela va me servir de choisir a négatif ou positif??

Posté par
carpediem
re : Limites avec un paramètre réel. 08-10-20 à 12:32

salut

c/ cette suite d'égalités de limite n'a pas de sens ... (en particulier sans précision nécessaire sur a)

1/ on transforme l'expression (si on en a le droit)
2/ on calcula la limite

l'écriture x \to a^+ signifie que : x tend vers a et x > a

on en déduit en particulier que x - a > 0

or x2 - ax = x(x - a)  et  x2 - a2 = (x - a)(x + a)

ce qui permet de répondre aisément ...

Posté par
Nijiro
re : Limites avec un paramètre réel. 08-10-20 à 22:03

Nijiro @ 07-10-2020 à 08:26


c.\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{\sqrt{x^2 -ax} + \sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x-a}}=\lim_{x\rightarrow a^+} \frac{\sqrt{x(x-a)} + \sqrt{(x-a)(x+a)}}{\sqrt{x-a}}=\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{\sqrt{x}.\sqrt{x-a} +\sqrt{x-a}.\sqrt{x+a}}{\sqrt{x-a}}= \lim_{x\rightarrow a^+}\sqrt{x}+\sqrt{x+a}


Pour justifier:
Vu que x\rightarrow a^+ alors  x>a, donc  x-a>0, alors forcèment  x>0 et  x+a>0 (à l'intérieur des racines), ce qui permet de simplifier et obtenir la dernière expression.

(Au moment de la rédaction je vais justifier chaque passage.)

En fait, le signe de a qui me tourmente, si a est positif alors tout est résolu sinon cela va se compliquer. Donc comme a dit alb12 je vais prendre a positif.

Posté par
alb12
re : Limites avec un paramètre réel. 08-10-20 à 22:18

"alors forcement x>0" faux si a<0
en effet il faut prendre a>=0 sinon f n'est pas definie à droite de a et n'a pas de limite en a
c'est probablement un oubli dans l'enonce
Encore une fois ne pas ecrire le symbole lim dans les calculs
on ne passe à la limite qu'à la fin quand on est sur que cette limite existe

Posté par
Nijiro
re : Limites avec un paramètre réel. 09-10-20 à 08:04

D'accord, c'est compris ^-^. Merci énormément!

Posté par
carpediem
re : Limites avec un paramètre réel. 09-10-20 à 19:20

et pour enfoncer le clou :

si a < 0 et x tend vers a (quel que soit le côté d'ailleurs) alors on a forcément (même si je n'aime pas ce mot)  a < x < a/2 < 0 à partir d'un certain moment ...

et donc x est négatif ... et alors la racine carrée de x^2 - ax n'a pas de sens ...

il est donc nécessaire dès le départ de supposer a > 0 (le cas a = 0 n'ayant guère d'intérêt)

Posté par
Nijiro
re : Limites avec un paramètre réel. 13-10-20 à 09:57

Entendue carpediem! C'est compris ^-^. Merci infiniment!

Posté par
carpediem
re : Limites avec un paramètre réel. 13-10-20 à 19:33

de rien



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