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limites des fonction
Bonjour
Soit la fonction f définie par: f(x)=(x^2-4x+5) /(x-2)
On désigné par(Cf) sa courbe représentative dans un repéré. Orthonormé du plan.
1°/ déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel distinct de 2 tels que
f(x)=ax+b+c/(x-2)
Méthode rendre au même dénominateur
f(x)=(ax+b)(x-2)+c/(x-2)
f(x)=ax^2-2ax+bx-2b+c/(x-2)
f(x)=ax^2+x(-2a+b)-2b+c/(x-2)
a=1
-2a+b=-4
-2b+c=5
b=-2
C=1
f(x)=x-2+ 1/(x-2)
2°/ établir le tableau des variations complet de la fonction (limites aux bornes , dérivée, variation)
× limites aux bornes
Lim (x^2-4x+5)/(x-2)=+infni
x->+ infini
Lim(x^2-4x+5)/(x-2)=-infini
x->-infini
Lim(x^2-4x+5)/(x-2)=-infini
x->2
<
Lim(x^2-4x+5)/(x-2)=+infini
x->2
>
La dérivée
f'(x)=(x^2-4x+5)'(x-2)-(x-2)'(x^2-4x+5)/(x-2)^2
f'(x)=(2x-4)(x-2)-x^2+4x-5/(x-2)^2
f'(x)=2x^2-4x-4x+8-x^2+4x-5/(x-2)^2
f'(x)=x^2-4x+3/(x-2)^2
Étudions le signe de la dérivée
(x-2)^2>0, le signe de f'(x)dépend de x^2-4x+3
Déterminons le discriminant
∆=b^2-4ac
∆=(-4)^2-4×1×3
∆=16-12
∆=4
√∆=2
X1=1 et X2=4
Pour x €]-infini, 1]u[4, + infini[
f'(x) est croissante
Pour x€[1,4], f'(x) est décroissante
3°/ démontre que la droite D d équation y=ax+b est asymptote a la courbe lorsque x tend + infini et - infini
f(x)-(x-2)=1/(x-2)
Lim 1/(x-2)=0
x->+ infini
Lim 1/(x-2)=0
X->-infini
Donc la droite d équation y=x-2 est une asymptote oblique a la drcourbe(Cf)
4°/ étudier la position de (Cf)par rapport a (D)
f(x)-(x-2)=1/x-2
Étudions le signe de x-2
Pourx€]-infini, 2] la courbe (Cf) est au dessous de (D)
Pour x€[2, + infini[. La courbe (Cf) est en dessous de (D)
5°/ démontre que point ∆ d intersections de (D) avec l axe des abscisses est un centre de symétrie de la courbe (Cf)
6/ tracer (Cf) et ses asymptotes
J ai besoin d aider sur la question 5 et 6
bonjour
tes limites en 2) ne sont pas démontrées
fais le en prenant la 2e écriture de f(x)
puis dérivée, prends la 2e forme également, dérivée immédiate, factorisation immédiate et pas besoin de discriminant
salut
il faut justifier le calcul des limites ... et telle qu'écrites tu as une forme indéterminée
la question 1/ n'est pas anodine (elle n'est pas là pour faire joli !!!)
elle permet de :
calculer les limites
calculer la dérivée sans passer par un discriminant inutile ...
enfin pour finir : on écrit proprement un énoncé exact et complet au mot près ... et ensuite on donne ses réponses ..
Ok
Limites aux bornes
En +
Lim(x-2)+ 1/(x-2)
x->+
Lim (x-2)=lim(x)= +
x->+
Lim 1/(x-2)=lim(1/x)=0
]
x->++1/x-2=+infini
<br />X->+[smb]infini.gif)
De même
Lim( x-2)+1/(x-2)=-infini
x->-
oui, c'est le principe
allez, refais ta partie dérivée maintenant en tenant compte de ce qu'on a dit au dessus
f'(x)=(x-2)'+(1/(x-2))'
f'(x)=1-(x-2)'/(x-2)^2
f'(x)=1- 1/(x-2)^2
f'(x)=x^2-4x+4-1/(x-2)^2
f'(x)=x^2-4x+3/(x-2)^2
oui
mais
quand tu es là f'(x)=1- 1/(x-2)^2
réduis au même dénominateur sans développer le carré ! ça se factorisera alors tout seul
f'(x)=1-1/(x-2)^2
f'(x)=(x-2)^2/(x-2)^2-1/(x-2)^2
f'(x)=[(x-2)/(x-2)]^2-[1/(x-2)]^2
f'(x)=(x-2)/(x-2)-1/(x-2)][(x-2)/(x-2)+1/(x-2)]
f'(x)=[(x-3)/(x+2)][x-1/x-2]
f'(x)=x^2-4x+3/(x-2)^2
quand tu es là
f'(x)=1-1/(x-2)^2
f'(x)=(x-2)^2/(x-2)^2-1/(x-2)^2
f'(x)=[(x-2)/(x-2)]^2-[1/(x-2)]^2
tout sur une seule fraction
et revoir la factorisation de a²-b²
non, les parenthèses, c'est pas fait pour les .....
et je t'ai dit de ne pas développer mais de factoriser !!!
Bonjour
Ok j ai compris
f(x)=(x-2)^2-1^2/(x-2)^2
f(x)=(x-2-1)(x-2+1)/(x-2)^2
f(x)=(x-3)(x-1)/(x-2)^2
S il vous plait comment résoudre la question 5
(2,0)Au fait ceux ci n est pas dans mon cours , donc je ne peux pas conclure
Comment faire alors pour conclure
ben on voit immédiatement que f(2 + h) = - f(2 - h) ou encore que f(-x) = -f(x) dans le repère d'origine (2, 0) ...
6/ tracer (Cf) et ses asymptotes
on prend un papier et un crayon ...
et on peut évidemment utiliser une calculatrice ou un grapheur comme geogebra pour voir ce qui se passe ....
Ok
Mais avant de construire la courbe j ai souci
La droite
D y=x-2
Comment construire l asymptote de cette droite
oui ...
une droite est une droite ... épictou !!!
et cette droite est une asymptote à la courbe de f ...
l'autre asymptote est la droite d'équation x = 2 ...
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