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Limites et fonctions
Bonjour à tous !
J'ai un peu de mal avec les limites et calculs de fonctions. Je vous donne l'énoncé :
*Soit la fonction f définie par f(x) =√(x²+1) -x
1) Démontrer que l'ensemble de définition est R
2) Limites aux bornes.
a) Déterminer la limite de f en -∞
b) Peut on déterminer la limite "facilement" en +∞
c) Montrer que pour tout x positif on a f(x)≥0 (indication x²+1 ≥ x²)
d) Vérifier que pour tout x positif f(x) = 1/√(x²+1) -x indication: calculer :
[√(x^2+1) -x] - 1/[(√x^2+1) + x]
e) En déduire la limite en +∞
3)Variation de la fonction f.
a)Déterminer la dérivée de f
b)En déduire que f'(x)≤ 0
c) En déduire la variation de f.
d) En déduire le tableau complet de variation de f;
4) Tracer la courbe représentative de f.
Alors comme je vous l'ai dis .. je comprend pas vraiment tout ça.. donc si vous pourriez m'aidez.. me donner quelques indications pour que je puisse faire l'exercice. =)
Merci d'avance pour votre aide !
Bonjour,
1) La fonction f est définie si, et seulement si, ce qui se trouve sous la racine est positif ou nul : c'est toujours le cas donc f est définie pour tout x réel.
2) a) En moins l'infini ce qui est sous la racine tend vers plus l'infini et la fonction racine carrée tend vers plus l'infini en plus l'infini donc par somme f tend vers (+00)-(-00) soit plus l'infini.
b) En plus l'infini le terme de gauche avec la racine tend vers plus l'infini mais par somme on a donc (+00)-(+00) soit +00-00 qui est une forme indéterminée : on ne peut donc pas déterminer la limite "facilement".
c) x²+1 > x² donc par stricte croissante de la fonction racine carrée on a racine(x²+1) > racine(x²)=|x| donc pour x positif on a racine(x²+1) > x c'est-à-dire f(x) > 0 (les signes > sont à prendre au sens de supérieur ou égal).
Pour la question 1.. je peux le rédiger comment la réponse ?
* f(x) existe si 
(x2 + 1) 
0 ...
mais je vois pas quelle suite je peux mettre =/
Bonjour,
Non, ce que tu as marqué ne va pas : une racine carrée est toujours positive ou nulle...
Le seul point à vérifier pour que la fonction f soit bien définie est que ce qui est sous la racine doit être positif ou nul.
D'où la rédaction possible suivante :
La fonction f est définie si, et seulement si, x²+1 est positif ou nul. Or x² est positif ou nul donc x²+1 est également positif ou nul donc racine(x²+1) est définie pour tout x réel donc f est définie pour tout x réel.
Conclusion : f est définie sur 
.
Merci pour ces explications.
Mais ce que l'on vient de dire dans la question 1 ça ne rejoint pas un peu la question 2.c) ?
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