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Limites Ts

Posté par
BillyGibbons 31-12-14 à 16:33

Bonjour à tous, je suis bloqué sur cet exercice sur les limites que je n'arrive même pas à commencer, merci d'éclairer ma chandelle !
Énoncé :

PARTIE A

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0  ;+\infty[ par :
f(x)=\frac{x}{e^x -1}
1)Démontrer que \lim_{h\to 0} \frac{e^h -1}{h}=1
  En déduire la limite de la fonction f en 0.

2)Déterminer la limite de la fonction f en + \infty

PARTIE B

Soit u_n la suite definie pour tout entier n \ge 1 par :
u_n=\frac{1}{n}(1+e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+...+e^{\frac{n-1}{n}})

1)Démontrer que :
1+e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+...+e^{\frac{n-1}{n}}=\frac{1-e}{1-e^{\frac{1}{n}}}

2)En déduire que : u_n=(e-1)f(\frac{1}{n})

3)Calculer la limite de la suite u_n



Merci d'avance à ceux qui auront le courage de s'atteler à ça !

Posté par
malou Webmasterre : Limites Ts 31-12-14 à 16:38

Pourquoi, t'en as pas toi du courage.....

la 1
pense au nombre dérivé....(c'est du cours souvent)

Posté par
BillyGibbonsre : Limites Ts 31-12-14 à 16:57

C'est justement pour avoir subit l'exo que je dis qu'il en faut !
Le nombre dérivés c'est quoi exactement ?

Sinon, f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{1(e^x -1)-e^x(x)}{(e^x -1)^2}=\frac{e^x -1 -e^x^2}{e^x^2 -2e^x +1}
Et je fais quoi avec ça ?

Posté par
malou Webmasterre : Limites Ts 31-12-14 à 17:05

\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} et on en prend la limite qd h tend vers 0

ça doit bien te rappeler qq chose, non?

Posté par
BillyGibbonsre : Limites Ts 31-12-14 à 17:14

Ben si c'est censé me rappeler un truc que j'ai vu dans mon cours, c'est raté

Posté par
malou Webmasterre : Limites Ts 31-12-14 à 17:16

t'en en TS

donc tu as fait 1re et début de terminale...
la dérivabilité (ou différentiabilité) en un point...holla.....

Posté par
BillyGibbonsre : Limites Ts 01-01-15 à 12:51

Dérivabilité ça va, mais en un point je vois pas !
Donc en fait, h serais un point à remplacer par des coordonées ?

Posté par
BillyGibbonsre : Limites Ts 01-01-15 à 12:55

Après une petite recherche, j'ai vu qu'en fait c'etait juste le mot compliqué de "dérivées" !
Je sais ce que c'est, et d'ailleurs j'ai dérivé f(x) dans mon post de 16h57 non ?

Posté par
francois5re : Limites Ts 01-01-15 à 13:08

Salut, en fait en première, tu as dû voir au tout début du chapitre de dérivation la définition du nombre dérivé d'une fonction f en un point a :

\displaystyle f'(a)= \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{ f(x)-f(a) }{x-a} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

(ces deux définitions sont à retenir, selon les situations, l'une est plus simple à utiliser que l'autre).

Ici, pour ma part, je trouve que les deux marchent très vite. Je reprends ce que disait malou :

\displaystyle f'(a)= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} et toi tu cherche \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^h-1}{h}

Visiblement il faut prendre f=\exp et a=0 pour avoir \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^{0+h}-e^0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^{h}-1}{h}

Par définition, cette limite vaut f'(0)=e^0=1.

Posté par
malou Webmasterre : Limites Ts 01-01-15 à 13:09

tu confonds dans ton propos "le nombre dérivé" et "la fonction dérivée"

tu devrais reprendre ton cours de 1re, quand vous avez introduit le nombre dérivé, avant les fonctions dérivées

Posté par
BillyGibbonsre : Limites Ts 01-01-15 à 13:20

@francois5 : Pour rédiger, est ce que écris comme ça c'est bon :
Ici, si f(x)=e^x  et  a=0  on a :
\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^{0+h}-e^0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^{h}-1}{h}  

Dois-je en conclure que f tend vers 0+ ?

@malou : Effectivement ! Mais je n'ai pas cela dans mon cours de 1ère S !

Posté par
francois5re : Limites Ts 01-01-15 à 13:25

Oui c'est bon, mais pas besoin de t'encombrer à préciser f et a sur ta copie, ton prof comprendra directement ce que tu utilises en écrivant cette égalité de limites.
Bien-sûr, si ça t'aide et si tu as peur d'oublier cette méthode, je t'encourage à rédiger complètement la réponse (en précisant f et a) pour essayer de retenir le principe.

f c'est l'inverse de ce qu'il y a dans la limite, et la limite de l'inverse, c'est l'inverse de la limite. Donc la limite de f(x) quand x tend vers 0 vaut l'inverse de 1, c'est-à-dire 1.

Posté par
BillyGibbonsre : Limites Ts 01-01-15 à 13:34

Citation :
f c'est l'inverse de ce qu'il y a dans la limite, et la limite de l'inverse, c'est l'inverse de la limite. Donc la limite de f(x) quand x tend vers 0 vaut l'inverse de 1, c'est-à-dire 1.


Ah ouais d'accord, de deux choses l'une :
-Pourquoi f est l'inverse de la limite, alors que c'est la limite de f ?
-Comment je l'écris à ma prof ça ?

Posté par
francois5re : Limites Ts 01-01-15 à 13:37

Tu as : \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x)=\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x}{e^x-1} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{\dfrac{e^x-1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{h(x)} = \dfrac{1}{1}=1

Posté par
BillyGibbonsre : Limites Ts 01-01-15 à 13:40

Mais ca veut pas dire que h(x)=1 Tout le temps ça ?

Posté par
francois5re : Limites Ts 01-01-15 à 13:43

Bah non c'est une limite quand x tend vers 0, rien d'autre.
Et en fait j'ai inventé la notation h(x) = \dfrac{e^x-1}{x}. On a juste vu précédemment que \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} h(x) = 1.
Pour autant h(2)=\dfrac{e^2-1}{2} \neq 1

Posté par
BillyGibbonsre : Limites Ts 01-01-15 à 14:02

Ah oui d'accord !
Et en plus infini, la limite sera logiquement + infini, mais tu peux le prouver comment ?

Posté par
malou Webmasterre : Limites Ts 01-01-15 à 14:22

jamais tu prends ta calculatrice pour te vérifier...

Limites Ts

Posté par
BillyGibbonsre : Limites Ts 01-01-15 à 15:04

Mais on a une FI de type infini/infini, du coup je factorise la fraction par le plus grand exposant ?

Posté par
malou Webmasterre : Limites Ts 01-01-15 à 15:34

oui, certes FI
mais tu as appris que l'exponentielle allait l'emporter, ce qui donne déjà une bonne idée du résultat
le tout est de l'écrire proprement, en utilisant les FI de ton cours, actuellement au programme

Posté par
BillyGibbonsre : Limites Ts 01-01-15 à 19:27

Euh proprement ça veut dire quoi ? Il y a une présentation spéciale à adopter ?

Posté par
malou Webmasterre : Limites Ts 01-01-15 à 19:32

proprement veut dire en utilisant les FI du cours
(et non pas "c'est l'exponentielle qui l'emporte...."

Posté par
BillyGibbonsre : Limites Ts 01-01-15 à 22:53

C'est bon, j'ai réussi à faire la suite et je pense avoir fini, merci à tous !

Posté par
malou Webmasterre : Limites Ts 02-01-15 à 09:01


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