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loi binomiale

Posté par
henry5
31-01-23 à 21:24

Bonjour , j'ai une difficulté dans mon exerice    , j'ai réussi toutes les question sauf une et j'aurais vraiment besoin de votre aide svp , voici l'énoncé :

Julien doit prendre l'avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport.
S'il prend le bus de 8 h, il est sûr d'être à l'aéroport à temps pour son vol.
Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d'arriver à temps à l'aéroport.
Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu'il manque son bus est de 0,8.
S'il manque son bus, il se rend à l'aéroport en prenant une compagnie de voitures pri-vées; il a alors une probabilité de 0,5 d'être à l'heure à l'aéroport.
On notera;
• B l'évènement : « Julien réussit à prendre son bus »;
• V l'évènement: « Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol ».
Partie 2
Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu'il n'y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l'embarquement du vol sur lequel ils ont réservé (pour de multiples raisons, voir l'exemple de Julien ci-dessus). On appelle cette pratique le «surbooking » (ou la « surréservation »).
Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5% de chance de ne pas se présenter à l'embarquement.
Considérons un vol dans un avion de 200 places pour lequel 206 billets ont été vendus. On suppose que la présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l'embarquement.

La question a laquelle  je n'arrive pas est
5. A supposer que cela soit possible, combien de personnes la compagnie aérienne devrait-elle appeler le jour J pour avoir 50% de chance de tomber sur quelqu'un qui ne se présentera pas a l embarquement

J'ai essayé de résoudre cette équation n*0,05*0,95^(n-1) mais c'est impossible

Voilà merci bcp d'avance !!

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 22:10

Salut, il serait intéressant que tu envoies l'énoncé entier si tu veux de l'aide.

Citation :
J'ai essayé de résoudre cette équation n*0,05*0,95^(n-1) mais c'est impossible


Là tu n'écris pas une équation.. Une équation consiste en deux membres reliés par un signe d'égalité (=). Les membres peuvent être des nombres, des variables ou des expressions mathématiques. L'objectif est de trouver la ou les valeurs des variables qui satisfont à l'égalité. Par exemple, 2x + 1 = 7 est une équation où x est la variable et l'objectif est de trouver la valeur de x qui rend l'équation vraie.

Pour ton problème, on peut utiliser la loi binomiale pour trouver la probabilité d'un nombre spécifique de personnes ne se présentant pas à l'embarquement. En considérant que chaque passager a une probabilité de 0,05 de ne pas se présenter, la probabilité de x personnes ne se présentant à l'embarquement est donnée par :

P(X = x) = (206 choix x) * (0,05^x) * (0,95^(206-x))

Où (206 choix x) est le coefficient binomial donné par la formule mathématique suivante :

(206 choix x) = 206! / (x! * (206 - x)!).

On peut ensuite trouver la probabilité cumulative pour une quantité spécifique de personnes ne se présentant pas et utiliser cette information pour trouver combien de personnes la compagnie aérienne devrait appeler pour avoir 50% de chance de tomber sur quelqu'un qui ne se présentera pas à l'embarquement.

À ton niveau, tu ne peux pas trouver une réponse exacte, une analyse approfondie serait nécessaire et il est peut-être préférable de consulter un statisticien ou un expert.

Posté par
henry5
re : loi binomiale 31-01-23 à 22:12

Bonjour , il s'agit de l'énoncé complet !

Posté par
henry5
re : loi binomiale 31-01-23 à 22:14

Mince , vous avez raison ,  j'ai oublié la deuxième partie de l'égalité , je voulais dire n*0,05*0,95^(n-1) = 0,5

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 22:14

Citation :
...

La question a laquelle  je n'arrive pas est
5. A supposer que cela soit possible, combien de personnes la compagnie aérienne devrait-elle appeler le jour J pour avoir 50% de chance de tomber sur quelqu'un qui ne se présentera pas a l embarquement


Où sont les questions 1) à 4) ?

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 22:20

L'équation n * 0,05 * 0,95^(n-1) = 0,5 peut être résolue en utilisant une méthode numérique telle que la méthode de la bissection ou la méthode de Newton.

Est-ce que tu as déjà vu ces méthodes en cours ?

Posté par
henry5
re : loi binomiale 31-01-23 à 22:23

Non pas du tout ! Mais quand je résous à la calcul t'arrive ça me met erreur ,
Voici l'ensemble du sujet :

Julien doit prendre l'avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport.
S'il prend le bus de 8 h, il est sûr d'être à l'aéroport à temps pour son vol.
Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d'arriver à temps à l'aéroport.
Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu'il manque son bus est de 0,8.
S'il manque son bus, il se rend à l'aéroport en prenant une compagnie de voitures pri-vées; il a alors une probabilité de 0,5 d'être à l'heure à l'aéroport.
On notera;
• B l'évènement : « Julien réussit à prendre son bus »;
• V l'évènement: « Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol ».
1. Donner la valeur de Ps(V).
2. Représenter la situation par un arbre pondéré.
3. Montrer que P(V) = 0,6.
4. Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus? Justifier.
Partie 2
Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu'il n'y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l'embarquement du vol sur lequel ils ont réservé (pour de multiples raisons, voir l'exemple de Julien ci-dessus). On appelle cette pratique le «surbooking » (ou la « surréservation »).
Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5% de chance de ne pas se présenter à l'embarquement.
Considérons un vol dans un avion de 200 places pour lequel 206 billets ont été vendus. On suppose que la présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l'embarquement.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l'embarquement?
3. Calculer la probabilité que 201 passagers se présentent à l'embarquement. De résultat sera arrondi à 10-3près.
4. Calculer P(X < 200), le résultat sera arrondi à 10- près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. A supposer que cela soit possible, combien de personnes la compagnie aérienne devrait-elle appeler le jour ) pour avoir 50% de chance de tomber sur quelqu'un qui ne se présentera pas à l'embarquement?
Mercii encore !

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 22:33

matheux14 @ 31-01-2023 à 22:20

L'équation n * 0,05 * 0,95^(n-1) = 0,5 peut être résolue en utilisant une méthode numérique telle que la méthode de la bissection ou la méthode de Newton.

Est-ce que tu as déjà vu ces méthodes en cours ?


D'ailleurs x * 0,05 * 0,95^(x-1) - 0,5 = 0, n'a pas de solution dans \R..

Posté par
henry5
re : loi binomiale 31-01-23 à 22:39

Du coup il n'y a pas de nombre de passagers qu'il  faut appeler pour que l'on ait 50% de chance de tomber sur quelqu'un qui ne se présente   pas à l'embarquement ?  

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 22:44

Ok, pour répondre à la question 5), la loi binomiale suivie par X a les paramètres n = 206 et p = 0.05.

La moyenne pour cette loi binomiale est de np = ??.

La probabilité de X = 201 est donnée par la fonction de masse de probabilité de la loi binomiale: P(X = 201) = ??.

La probabilité que X soit inférieur à 200 est donnée par la somme des probabilités de tous les cas où X est inférieur à 200: P(X < 200) = la somme des P(X = k) pour k = 0 à 199 = ?? (Calcul que tu peux faire avec ton tableur, ou autre..)

Après ce calcul, tu seras en mesure de juger qu'il y a une très faible (ou une forte) probabilité que moins de 200 passagers se présentent à l'embarquement.

Donc pour avoir 50% de chances de tomber sur quelqu'un qui ne se présentera pas à l'embarquement, il faudrait appeler 206 * la probabilité calculée juste avant.

Posté par
henry5
re : loi binomiale 31-01-23 à 22:58

Merci !

Du coup j'ai trouvé que P(X=201)=0,031
Et P(<=200)=0,948

Donc il faut faire 0,5*0,948 ?

Posté par
henry5
re : loi binomiale 31-01-23 à 23:04

Mais j'ai trouvé une loi binomiale de paramètre n=206 et p=0,95 ( et non 0,05)

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 23:23

Oui, erreur de frappe de ma part.

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 23:30

Pour déterminer combien de personnes la compagnie aérienne devrait appeler le jour du vol pour avoir 50% de chance de tomber sur quelqu'un qui ne se présentera pas à l'embarquement, il faut trouver k tel que P(X > 200-k) = 0.5 avec X suit une loi binomiale de paramètres n = 206 et p = 0.05.

Posté par
henry5
re : loi binomiale 31-01-23 à 23:33

Ah d'accord !

Mais comment résoudre à partir de la ? Parce que le coefficient binomial n'est pas constant ( on a seulement appris à le faire grâce à la calculatrice)

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 23:34

Car on veut trouver le nombre minimum de personnes que la compagnie aérienne doit appeler pour qu'il y ait 50% de chances que moins de 200 personnes se présentent à l'embarquement (c'est-à-dire X > 200-k). Autrement dit, il faut trouver le nombre minimum de personnes qui ne se présentent pas à l'embarquement pour que l'avion ne soit pas complet. La probabilité que X > 200-k est la même que la probabilité que X < 200, et en trouvant k tel que cette probabilité soit égale à 0,5, on détermine combien de personnes la compagnie aérienne doit appeler pour avoir 50% de chances de tomber sur une personne qui ne se présentera pas à l'embarquement.

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 23:37

Une approche consiste à utiliser des tables de probabilités pour la loi binomiale, si elles sont en ta disposition. On peut alors trouver la valeur k pour laquelle P(X > 200-k) est la plus proche de 0.5, et l'utiliser comme estimation.

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 23:38

matheux14 @ 31-01-2023 à 23:30

Pour déterminer combien de personnes la compagnie aérienne devrait appeler le jour du vol pour avoir 50% de chance de tomber sur quelqu'un qui ne se présentera pas à l'embarquement, il faut trouver k tel que P(X > 200-k) = 0.5 avec X suit une loi binomiale de paramètres n = 206 et p = 0.{\red{9}}5.

Posté par
henry5
re : loi binomiale 31-01-23 à 23:38

J'avoue que j'ai du mal à saisir comment fait on pour trouver le k 😅

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 23:43

Voir par là

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 23:46

Oups, je me suis trompé de lien

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 31-01-23 à 23:50

Voir la table 1 par là , mais c'est le même principe de lecture que dans la vidéo.

Posté par
henry5
re : loi binomiale 31-01-23 à 23:56

Ça me parait très compliqué 😅

Posté par
matheux14
re : loi binomiale 01-02-23 à 00:10

Si vous n'avez pas eu cette table au cours, tu peux faire autrement en utilisant une approche numérique. Créer une boucle for qui itère sur des valeurs croissantes de n, et à chaque tour, calculer la probabilité P(X > 200-k) en utilisant les formules pour la loi binomiale. Lorsque la valeur obtenue correspond à 0.5, on peut sortir de la boucle et afficher la valeur de k qui a été trouvée.

Voici un exemple de code python, (je suis pas très bon en programmation) :

from math import comb

def binomial_probability(n, k, p):
    return comb(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))

p = 0.5  # Probabilité de succès d'un événement

for n in range(1, 201):
    k = 200 - n  # Nombre de succès souhaités
    probability = binomial_probability(n, k, p)
    if probability >= 0.5:
        print(f"La valeur de n pour laquelle P(X > 200 - n) = 0.5 est {n}")
        break


Ce code utilise la fonction comb de la bibliothèque math pour calculer la probabilité binomiale. À chaque tour de boucle, la probabilité est calculée pour le nombre de succès souhaité k et le nombre d'essais n, et si cette probabilité est supérieure ou égale à 0.5, la boucle se termine et la valeur de n qui a été trouvée est affichée.

Posté par
henry5
re : loi binomiale 01-02-23 à 00:38

Mercii infiniment à vous !!!  



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