Bonjour,
j'ai un dm à faire sur les lois binomiales. Voici l'énoncé:
Suite à une étude statistique, il ressort que lors d'un match de rugby, la probabilité d'avoir au moins un joueur d'une équipe qui se blesse est 0,25. On considère que chaque match est indépendant des autres.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de matchs
dans une saison où il y a eu des blessés.
Partie A: On s'intéresse aux 10 premiers matchs de la saison:
1) Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier.
2) Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucun blessé lors des 10 premiers matchs de la
saison?
3) Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un blessé lors des 10 premiers matchs
de la saison?
4) L'entraîneur pense qu'il y aura deux ou trois matchs avec blessés sur les 10
premiers matchs de la saison. A-t-il raison?
On pourra vérifier ses différentes réponses aux questions à l'aide de sa
calculatrice ou d'une représentation graphique de la loi binomiale sur Géogebra.
Partie B: Une saison compte n matchs:
1) Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier.
2) a) Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucun match avec blessé(s) pendant toute la
saison ?
b) Quelle est la probabilité qu'à tous les matchs il y ait eu au moins un blessé(s) ?
3) a) Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un match avec blessé(s) lors d'une
saison?
b) A partir de combien de matchs par saison, a-t-on plus de 99% de chances
d'avoir au moins un match avec blessé? (On résoudra une inéquation à l'aide du ln)
4) a) Une saison de Top 14 compte 26 matchs de championnat, déterminer
l'évènement { X = k } qui a la plus forte probabilité.
b) Est-ce toujours le même si l'on rajoute les 6 matchs de Coupe d'Europe?
c) En moyenne sur une saison (Coupe d'Europe incluse), combien y'a-t-il de
matchs avec blessés ?
J'ai personnellement réussi à faire la question 1,2,3, mais je sèche toutefois sur la 4. Si quelqu'un peut m'aider, ce serait super !
PS: voici mes réponses pour les question 1,2,3:
1) On répète 10 fois l'expérience aléatoire suivante: on fait un match de rugby et on regarde s'il y a au moins un blessé (succès) ou non. Les répétitions sont identiques et indépendantes. X est une variable aléatoire qui compte le nombre de succès, et suit une loi binomiale. On estime la probabilité d'avoir un joueur blessé a 0.25. On a donc X qui suit la loi B(10;1/4).
2)On calcule P(X=0)= 10P0*(1/4)⁰*(1-1/4)^10-0 = 0.06
3)On calcule P(X=1) = 10P1*(1/4)¹*(1-1/4)^10-1 = 0.19.

Merci d'avance !