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Loi binomiale : quand assimile-t-on un tirage sans remise à un t
Bonjour.
J'ai des doutes au moment de rédiger le corrigé d'un problème.
C'est l'histoire d'un hôtelier qui achète 6 balances dans un stock de 6400.
Chaque balance a une probabilité de 0,9 de bien fonctionner au bout d'un an.
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de balances parmi les 6 de l'hôtelier qui fonctionnent bien au bout d'un an.
L'énoncé demande pourquoi X suit une loi binomiale.
Ce qui m'ennuie, c'est qu'il n'y a pas de "remise" quand on choisit les 6 balances parmi les 6400.
Quel est le critère de proportion qui permet d'assimiler un tirage sans remise à un tirage sans remise ?
Merci d'avance pour vos éclaircissements. J'ai un peu de mal avec ces trucs que je n'ai pas vus pendant mes études !
Bonjour
je ne suis pas un specialiste mais le fait qu'on ait un stock de depart de 6400 balances ou 1823156972 ou 6 ne change rien a mon avis.
Chaque balance individuellement a cette proba de 0.9 de fonctionner correctement au bout d'un an.
Cela serait different si on avait dit qu'il y avait 10 balances defectueuses sur un stock de 100 par exemple.
Dans ce cas le fait de tirer au depart une balance defectueuse ou au contraire fonctionnant correctement influencera les probabilites sur les tirages suivants.
En effet, la proba de 0,9 est affectée à chaque balance et non au stock.
Et quand on a un stock de N objets dont une proportion p est défectueuse, qu'on effectue n tirages et qu'on compte le nombre d'objets défectueux, à partir de quels chiffres peut-on assimiler la situation à des tirages avec remise ? Ce n'est peut-être pas dans les programmes.
En tout cas merci, je vais rédiger mon corrigé dans la logique que tu m'indiques.
Ah ben non, ça ne colle pas, je relis l'énoncé : "Des tests sont effectués sur les balances vendues ont montré que 90 % de ces balances fonctionnaient encore parfaitement à la fin de la garantie d'un an. Un hôtelier en achète six.
Notons X la variable aléatoire qui compte le nombre de balances parmi ces six qui fonctionnent parfaitement au bout d'un an. Expliquer pourquoi la loi de probabilité de X est une loi binomiale."
à partir de quels chiffres peut-on assimiler la situation à des tirages avec remise
Chacune des 6 balances acchetees a une proba de 0.9 de fonctionner apres un an et une proba de 0.1 de ne pas fonctionner. Je ne vois pas ce qui bloque...
Le problème, c'est que le VRAI énoncé ce n'est pas "chaque balance a la probabilité de 0,9 de fonctionner au bout d'un an" mais "Des tests ont montré que 90 % des balances fonctionnaient encore au bout d'un an". C'est différent, vous ne trouvez pas ?
non je ne pense pas. Puisqu'on ne précise pas le nombre de balances vendues.
S'il était écrit on achète 10 balances dans un stock de 100 dont on sait que 10 sont défectueuses.
Or ton énoncé stipule très clairement:
Chaque balance a une probabilité de 0,9 de bien fonctionner au bout d'un an.
Donc cette proba est valable pour chaque balance indépendamment les unes des autres.
Non : je me suis trompée en racontant l'énoncé la première fois.
L'énoncé dit "Des tests ont montré que 90 % des balances fonctionnaient encore au bout d'un an".
Le nombre de balances vendues est de 6 dans un stock de 6400.
Des tests ont montré que 90% des balances fonctionnaient encore au bout d'un an...
Cette formulation semble déjà en soi indiquer que tu peux considérer la probabilité comme constante (au moins dans l'idée de l'auteur de l'exercice).
Mais même en imaginant qu'il n'y ait pas indépendance, et que chaque tirage sans remise affecte potentiellement la proportion restante de balances susceptibles de tomber en panne au bout d'un an, de toutes manières, la "réserve" de balances est telle (plus de 6000) que cette incidence est négligeable et que la proportion reste quasi constante.
Je ne crois pas que le but de l'exercice soit de se focaliser sur ce point.
Tout au plus peux-tu signaler que soit on considère p=0,9 comme une donnée intrinsèque de l'exercice, et on ne se pose pas de question... Soit on considère que 'p' fluctue à chaque tirage sans remise, mais dans des proportions si minimes, qu'on peut considérer 'p' comme constant.
Merci.
C'est juste que je cherche à rédiger un corrigé correct et compréhensible pour les élèves.
J'ai proposé ceci :
Chaque balance choisie a la probabilité de 0,9 de fonctionner encore parfaitement au bout d'un an. Le
choix d'une balance correspond à une épreuve de Bernoulli dont le « succès » (=« la balance fonctionne
parfaitement au bout d'un an ») a une probabilité de 0,9 d'être réalisé.
Le choix des six balances de l'hôtelier n'est pas effectué avec remise, mais comme le stock est de 6400
balances, on assimile le choix des 6 balances à un tirage avec remise, de manière à obtenir un schéma de
Bernoulli de paramètres n=6 et p=0,9 .
La variable aléatoire X dénombre les balances qui fonctionnent parfaitement au bout d'un an sur les 6
achetées par l'hôtelier. X compte le nombre de « succès » dans le schéma de Bernoulli de paramètres n=6 et
p=0,9 . X suit donc une loi binomiale de paramètres n=6 et p=0,9 .
Le choix des six balances de l'hôtelier n'est pas effectué avec remise, mais comme le stock est de 6400 balances,
on assimile le choix des 6 balances à un tirage avec remise,
de manière à obtenir un schéma de Bernoulli de paramètres n=6 et p=0,9.
Je suggère :
Le choix des six balances de l'hôtelier est effectué sans remise, mais comme le stock est de 6400 balances,
on peut l'assimiler à un tirage avec remise, car la proportion 'p' ne sera pratiquement pas affectée.
On obtient donc un schéma de Bernoulli de paramètres n=6 et p=0,9 .
Pas de quoi 
.
Vous ne serez peut-être pas nombreux à apprécier le bien fondé de cette précision dans ton corrigé...
Mais au moins tu seras en paix avec ta conscience 
...
Une autre remarque si on veut approfondir l'énoncé :
La proportion 'p' supposée égale à 0,9, est en réalité elle-même incertaine.
En toute rigueur, on ne connait que 'f', fréquence de balances en bon état après un an, sur un échantillon vendu et testé, dont ignore l'effectif, mais qui ne peut être très important.
En conséquence, si on voulait "ergoter" sur la précision de 'p', outre l'interrogation portant sur ses fluctuations éventuelles liées au tirage sans remise des 6 balances, on pourrait plus encore se demander dans quel intervalle de confiance 'p' doit être considéré...
Et celà relativiserait probablement plus la précision des calculs qui s'ensuivent...
Mais je ne recommande pas d'évoquer ce point avec tes élèves, au risque sinon de les écoeurer définitivement 
...
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