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Loi de probabilité de la variable aléatoire Y
Bonjour,
Je suis en Terminale et j'ai un DM à faire pendant les vacances mais je bloque dès la première question. Voici le sujet :
L'arracheur de dents arrache les dents de ses patients au hasard. Les clients ont une dent malade parmi les 32 qu'ils possèdent avant l'intervention des tenailles du praticien. Le dernier client se laisse arracher les dents une à une tant que la dent malade n'a pas été extraite. On note Y le nombre de dents saines que ce malheureux voit tomber des mâchoires de la redoutable paire de tenailles.
1) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Y.
2) Calculer la probabilité qu'il reparte entièrement édenté.
3) Calculer E(Y). Interpréter ce résultat.
Premières idées :
On travaille sur le chapitre de la loi binomiale donc ma première intuition serait de penser que Y suit une loi binomiale. Mais les épreuves ici ne sont pas identiques et indépendantes. Lorsque l'on arrache la première dent, on a une probabilité de de retirer une dent saine. Ensuite, on a une probabilité de
de retirer une deuxième dent saine. Donc la probabilité n'est pas toujours la même.
Comme Y ne suit pas une loi binomiale, je pense alors à faire un tableau avec yi et P(Y=yi).
J'ai fait un arbre pondéré pour modéliser la situation et j'ai trouvé que P(Y=0) = par exemple parce que pour qu'il y ait 0 dent saine arrachée, il faut qu'on arrache la dent malade dès le début, soit une probabilité de
. Pour P(Y=1), il faut qu'on arrache une dent saine en premier, puis qu'on arrache la dent malade en deuxième, soit une probabilité de
. Et j'ai raisonné comme ça pour faire la loi de probabilité suivante.
-
| yi | 0 | 1 | 2 | ... | 30 | 31 |
| P(Y=yi) | ... |
Mais le problème, c'est que mon tableau est beaucoup trop long si bien que je ne pourrais pas l'écrire complètement dans ma copie. Donc, je pense que je fais fausse route et qu'il ne faut pas faire ça. En plus, pour la prochaine question, il faut calculer P(X=31) et je ne me vois pas faire
Est-ce que vous pourriez m'aiguiller ? Merci d'avance.
Merci LeHibou !
Pour répondre à la première question, je peux alors faire le tableau suivant.
Soit k un entier naturel tel que 0 k
31.
-
On obtient alors le tableau suivant :
_
| yi | k |
| P(Y=yi) | 1/32 |
Mais la prochaine question, c'est :
2) Calculer la probabilité qu'il reparte entièrement édenté.
Donc on doit calculer P(X=31) mais en répondant à la première question, j'ai déjà répondu à la deuxième. Je sais que la réponse est 1/32. Du coup, peut-être que je ne devrais pas faire ce tableau ?
En fait, il y a 32 dents, une seule est malade, la probabilité de chaque dent d'être malade est donc 1/32, c'est une loi uniforme, tout simplement.
Pour que le patient reparte tout édenté, il faut que la 1ère dent soit bonne, la 2ème aussi, et comme ça jusqu'à la 31ème.
La probabilité qu'une dent soit bonne est (31/32).
La probabilité que les 31 premières dents soit bonne est donc (31/32)31.
A vérifier, en probas on peut dire des bêtises très vite 
Merci encore pour votre réponse LeHibou ! 
En fait, il y a 32 dents, une seule est malade, la probabilité de chaque dent d'être malade est donc 1/32, c'est une loi uniforme, tout simplement.
Pour que le patient reparte tout édenté, il faut que la 1ère dent soit bonne, la 2ème aussi, et comme ça jusqu'à la 31ème.
La probabilité qu'une dent soit bonne est (31/32).
La probabilité que les 31 premières dents soit bonne est donc (31/32)31.
A vérifier, en probas on peut dire des bêtises très vite
Je comprends que la probabilité que la première dent arrachée soit bonne est de 31/32 parce que le client à 32 dents et 31 dents saines. Par contre, une fois la dent saine arrachée, le client n'a plus que 31 dents dont 30 sont saines, soit une probabilité de 30/31 que la deuxième dent arrachée soit saine.
On veut calculer la probabilité que le client reparte entièrement édenté, c'est-à-dire que les 31 premières dents soient saines et la dernière est forcément malade. Donc si je continue le raisonnement, je tombe sur (31/32)*(30/31)*(29/30)*...*(2/3)*(1/2)*(1/1)=1/32.
Entre autres, je ne comprends pas trop pourquoi la réponse serait (31/32)31 parce que la probabilité change constamment, une fois c'est 31/32 puis 30/31, etc.
D'ailleurs, je n'ai pas vu la loi uniforme en classe.
Effectivement, je pense que tu as raison.
Sans précision supplémentaire, la probabilité de position de la dent malade est la même pour toutes les positions, et comme il y a 32 positions, cette probabilité est 1/32.
(c'est ça la loi uniforme, rien de plus compliqué...)
Donc la probabilité que le patient sorte complètement édenté est la probabilité pour que la dent malade soit en 32ème position, donc 1/32.
Comme quoi, comme je le disais, en probas on peut dire des bêtises très vite
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