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Loi géométrique exo !

Posté par
GoodByeHuni
09-03-22 à 18:06

Bonsoir. J'aimerais avoir un avis sur mes réponses sur cet exercice. la question c) me laisse quelque peu perplexe aussi

L'énoncé est le suivant :

La durée de vie, en année, d'un élément radioactif peut être modélisée  par une variable aléatoire T qui suit la loi géométrique de paramètre p = 0,000 5.

Le succès est alors l'évènement : " L'évènement n'émet plus de rayonnement ".

T compte le nombre d'années nécessaires pour arriver au succès. Arrondir au millième près.

a) Calculer :

- P(T>3000)
- P(T<=5000)
- P(1 500 < T <= 2 500)

Interprétez les résultats obtenus

b) Calculer la probabilité que cet élément ne soit pas désintégré au bout de 2 000 ans sachant qu'il n'a pas été désintégré au bout de 1 000 ans.

c) La demi-vie d'un élément radioactif est le temps au bout duqeul cet élément a une chance sur deux de ne plus émettre de rayonnement. A l'aide d'un algorithme déterminer la durée de demi-vie de cet élément.

Mes réponses :

a) P(T>3000) = (1-0,000 5)3000 = 0,223 (=22%)
P(T<=5000) )= 1-(1-0,0005)5000 = 0,918 (=91,8%)
P(1500<T<=2500) = (1-0,0005)1501-(1-0,0005)250
= 0,186 (=18,6%)

Interprétations :


- La probabilité que l'élement n'émet plus de rayonnement au-délà de 3 000 ans est d'environ 22 %

- La probabilité que l'élément n'émet plus de rayonnement au bout de 5 000 ans ou moins est d'environ 91,8%

- La probabilité que l'élément n'émet plus de rayonnement sur une période de plus de 1 500 ans jusqu'à 2 500 ans est d'environ 18,6%

b) PT>1000(T>2 000) = (1-0,000 5)1000
= 0,61 (61%)

c)
On utilise la  formule de répartition avec ;

P(X<= k) = 1 - qk où p+q = 1 donc q = 0,9995

On cherche :

P(X<=k) = 1/2

donc

1-0,9995k = 1/2
0,9995k= 1/2
k * ln(0,9995) = ln(1/2)
k = ln(0,5)/ln(0,9995) = 1 385 années


Voilààà, j'aimerais savoir si je me suis trompée sur une formulation ou je ne sais quoi. Merci d'avance à ceux qui m'aideront ^^



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