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lois de probabilité
Bonjour,
Pouvez vous m'aider pour cette exercice sur les lois de probabilité. Je bloque sur quelques questions même si j'en ai réussi certaines.
Merci de votre aide.
l=lambda
Une entreprise d'autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chute de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc.
Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en dilatomètres que l'autocar va parcourir jusqu'à ce qu'il survienne un incident. On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre l=1/82, appelée aussi loi de durée de vie sans vieillissement.
On rappelle que la loi de probabilité est alors définie par:
p(D=<A)=int(0;A)(((1/82)e^(-x/82));dx).
Dans tout l'exercice, les résultats numériques seront arrondis au millième.
1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit:
a) comprise entre 50 et 100 km;
En calculant l'intégrale de 50 à 100 je trouve P([50,100])=0,248
b) supérieure à 300 km.
J'ai fait:
P(d>=300)=1-P(0=<d=<300)=0,248.
2. Sachant que l'autocar a déjà parcouru 350 kilomètre sans incident, quelle est la probabilité qu'il n'en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres?
Pour cette question, j'ai fait:
PX>350(X>375)=P(X>25)=1-P(0<X<25)=0,026.
3. Détermination de la distance moyenne parcourue sans incitent.
a) Au moyen d'une intégration par parties, calculer
I(A)=(0 à A) intégrale (1/82)(xe^(-x/82))dx où A est un nombre réel positif.
Je trouve:
I(A)=-Ae^(-A/82)-82e^(-A/82) +82.
b) Calculer la limite de I(A) lorsque A tend vers +oo (cette limite représente la distance moyenne cherchée).
Là, je bloque. Je n'arrive pas à trouver la limite.
4. L'entreprise possède N0 autocars. Les distances parcourus par chacun des autocars entre l'entrepôt et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deux à deux indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre l=(1/82).
D étant un réel positif, on note Xd la variable aléatoire égale au nombre d'autocars n'ayant subi aucun accident après avoir parcoure d kilomètres.
a) Montrer que Xd suit une loi binomiale de paramètres N0 et e^(-ld).
N0 représente n et e^(-ld) représente p dans la loi binomial. Mais comment justifier le fait que p= e^(-ld)?
b) Donner le nombre moyen d'autocars n'ayant subi aucun indicent après avoir parcouru d kilomètres.
Je bloque sur cette question.
Pouvez vous me répondre même si c'est simple je ne vois pas. J'aurais besoin d'explication.
Merci de votre aide
C'est bon je sais comment trouver la limite pour la 3)b)
On pose: X=^-A/82
lim(A-->+oo)(-Ae^(-A/82)=lim(x-->-oo)(82 Xe^(X))=0.
lim(A-->+oo)(-82e^(-A/82))=0 par produit de limite.
Donc par somme de limite:
lim(A-->+oo)I(A)=82.
Mais pourvez vous m'aider pour la suite svp?
J'ai trouvé:
a) Xdsuit une loi binomiale de paramètre No et p.
En effet, il s'agit de trouver la probabilité qu'aucun autocars parmi No autocars ne subissent un incident après avoir parcouru d kilomètres. Cette probabilité présente deux issues possibles:
p---> succès (aucun incident)(probabilité du succès)
1-p----> échec (incident)
p=1-
(de 0 à d) (1/82)e^(-x/82)dx=e^(-lamba*d)
b) E(X)=np=No*e^(-lamba*d) (nombre moyen d'autocars n'ayant subi aucun indicent après avoir parcouru d kilomètres).
Je voulais dire quelque chose. Je trouve qu'il est bon d'aider même si ça parait simple pour vous parce que j'ai l'impression que si c'est trop simple pour vous, vous n'aidez pas. Or dans mon cas, je n'avais pas bien compris le cours sur la loi binomiale et je vois bien que c'était que du cours maintenant. De toute façon, quelque chose devient simple seulement si on l'a bien comprise en profondeur. Ce qui n'était pas le cas pour moi. Moi, c'est ce que je pense. Et vous qu'est ce que vous en pensez?
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