Bonjour, j'ai un exercice à faire où je rencontre des difficultés. Voici le sujet :

Après un test pour détecter une éventuelle allergie, son médecin convoque Tom pour lui annoncer que le test est positif. Pas de chance car ce type d'allergie ne touche que 0.1 % de la population. Tom demande donc à son médecin si ce test est fiable. Il lui répond que, si vous êtes allergique alors le test positif dans 90% des cas, et que si vous ne l'êtes pas alors le test négatif dans 97% des cas.
Quelle est la proba que Tom soit vraiment allergique ?
On note C l'évènement "etre allergique" et T l'évènement "le test est positif".


1. Construire un arbre pondéré de la situation
2. Calculer la probabilité P(T)
3. En déduire la probabilité cherchée.
4. Conclure
5. Pour voir autrement ce paradoxe, considérons une population de 10 00 personnes. Recopier et remplir le tableau suivant en arrondissant les valeurs à l'unité.

(/T et /M sont les évènements contraires)

	T	/T	Total
M	Vrai positif	Faux négatif	Malade
/M	Faux positif	Vrai négatif	Non malade
Total	Test positif	Test négatif	10000

6. Vérifier qu'on retrouve la proba recherchée.

7. La sensibilité d'un test est la proba que le test soit positif si la personne est allergique
a) Déterminer une formule permettant de calculer la sensibilité à l'aide du tableau.
b) Que se passe til si la sensibilité d'un test augmente ?
c) La calculer dans cet exemple.


8) La spécificité d'un test est la probabilité que le test soit négatif si la personne n'est pas allergique.
a) Déterminer une formule permettant de calculer la sensibilité à l'aide du tableau.
b) Que se passe til si la sensibilité d'un test augmente ?
c) La calculer dans cet exemple.


9) La sensibilité et la spécificité d'un test sont-elles dépendantes ? Comment réagissent-elles entre elles?

10) On appelle prévalence, notée p, la proba P(M) et on note SE la sensibilité et SP  la spécificité. La valeur prédictive positive (VPP) d'un test est la proba que la personne soit réellement allergique si on test est positif et la valeur prédictive (VPN) d'un test la probabilité que la personne ne soit pas allergique si son test négatif.

a)Donner les valeurs de VPP et VPN en fonction de p, SE, et SP.
b) Les calculer dans cet exemple.




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Mes réponses :

J'ai trouvé l'arbre à la question 1 ce qui donne :


je ne trouve pas la bonne formule qui me permettrait de calculer T.



Merci pour votre aide et bonne journée.