bonsoir RC permettez moi de vous aider.

1) a) Montrer que les 3 points A,B,C ne sont pas alignes

vous calculez les composantes des vecteurs AB et AC.
puis vous calculer det(AB,AC).
vous trouvez que det(AB,AC) est non nul.
et vous concluez que A,B et C ne sont pas alignés.

b)Etablir que le vecteur AA' est orthogonal au plan (ABC)

Vous avez déjà les composantes des vecteurs AB et AC d'après la question
1. Vous savez aussi que (AB,AC) est une base du plan ABC d'aaprès
1.

donc si AA' est orthogonal à AB et à AC il est orthogonal au plan
ABC.

Pour cela vous calculez lzq composantes du vecteurs AA'.
ensuite vous calculez les produits scalaires AA'*AB et AA'*AC
vous trouvez qu'ils sont nuls et donc vous concluez...

d)Les 4 points A,B,B' et C sont ils coplanaires ?

calculer les composantes du vecteur AB' puis calculez
det(AB,AC,AB') si vous trouvez 0 vous concluez que B' appartient au plan ABC.

2)a)Calculer les coordonnes de D tel que le quadrilatere ABCD soit un rectangle.
Vérifiez d'abord que AB et orthogonal à AC pour cela calculez le produit
scalaire AB*AC.
si vous trouvez 0 alors AB et AC sont orthogonal.
remarquez que c'est suffisant pour dire que les point A, B et C ne sont
pas alignés et que cela rejoint la question 1.

si vous ne trouvez pas 0 vous ne pouvez pas construire un rectangle
en charchant D.

di vous trouvez 0 vous cherchez B tel que AB=DC

ça vous donnera les coordonnées du point D.
  
3)a)Demontrer que les points A',B' et C' ne sont pas alignés
Procédez comme en question 1

b)Les plans (ABC) et (A'B'C') sont ils secants ou parraleles
? Justifier

calculer det(AB,AC,A'B') et det(AB,AC,A'C') et vous concluez


voila j'ai préféré vous guider dans une solution interactive plutôt
que de vous donner la solution.

j'espère que vous agréez.

bonsoir et bon courage

comment tu calul ???
Donne moi un exemple stp

d'une manière générale, lorsque vous avez deux points M(a,b,c)
et N(a',b',c') dans un repère (O,i,j,k) alors le vecteur

MN a pour composantes (a'-a,b'-b,c'-c)

si vous considérer deux autres points I(x,y,z) et J(x',y',z')
alors leur vecteur IJ a pour composantes (x'-x,y'-y,z'-z)

le produit scalaire MN*IJ=(a'-a)(x'-x)+(b'-b)(y'-y)+(c'-c)(z'-z)

det(MN,IJ) est l'un des 3 determinants qui n'est pas nul. s'ils
sont tous les trois nuls les points sont alignés.

or les trois determinants sont, au signe près, les composantes du produit
vectoriel MN^IJ.

Donc pour étudier l'alignement de A,B et C vous savez que si ils
sont aligné dans ce cas le produit vectoriel AB^AC=0.

etc.

je vous laisse traiter votre exo. bon courage

merci j'ai compris maintnenat tu a une adresse mail ou msn

tu pourra m'aider comme sa

pour vous aider et à titre illustratif nous allons traiter la question
1.

l'espace est muni d'un repere orthonorme (O;i;j;k)
Les six points suivants sont definis par leur coordonnees
A(1.-1.3), B(1.1.3), C(1.1.-3)

donc le vecteur AB a pour composantes

(1-1,1-(-1),3-3)=(0,2,0)=2j

le vecteur AC a pour composantes:
(1-1,1-(-1),-3-3)=(0,2,-6)=2j-6k

                     |2      2|
det(AB,AC)=|0    -6|=2(-6)-0*2=-12

donc les trois points A,B et C ne sont  alignés.

Remarquez aussi le produit scalaire suivant:

AB*AC=2j*(2j-6k)=4  donc AB et AC ne sont pas perpendiculaires.

remarquez aussi le produit vectoriel suivant:

AB^AC=(2j)^(2j-6k)
           =4j^j-12j^k
           =-12i        ; car j^k=i et j^j=0

AB^AC n'étant pas nul donc A,B et C ne sont pas alignés.

b) le vecteur AA' a pour composantes (19-1,-1+1,3-3)=(18,0,0)

donc AA'=18i


le produit scalaire AA'*AB =18i*2j=36i*j=0  car i est orthogonal
à j.

et AA'*AC =18i*(2j-6k)=36i*j-108i*k=0 car i est orthogonal à j
et à k.

donc AA' est orthogonal AB et à AC comme (AB,AC) est une base du
plan ABC car les points A,B et C ne sont pas alignés donc AA'
est orthogonal au plan ABC engendré par la base (AB,AC) .

d) Les 4 points A,B,B' et C sont ils coplanaires ?  

vecteur AB' a pour composante (19-1,1-(-1),3-3)=(18,2,0)
donc AB'=18i+2j

                                 |0    18|
det(AB,AC,AB') = -2|-6    0|=-216 est différent de 0 donc B' n'appartient
pas au plan ABC.

2)a)Calculer les coordonnes de D tel que le quadrilatere ABCD soit un rectangle.
?

On va vérifiez d'abord que AB et orthogonal à BC pour cela on va
calculez le produit
scalaire AB*BC.

on a déjà trouvé que AB=2j

maintenant BC=-6k

donc AB*BC=-12j*k=0 car j est orthogonal à k.
donc le triangle ABC est rectangle en B.


donc on peut compléter le triangle ABC par un poit D telq ABCD soit un
rectangle.

le point D est défini par  AB=DC

soient (x,y,z) les coordonnées de D dans (O,i,j,k)

alors DC a pour composantes(1-x,1-y,-3-z)

DC=(1-x)i+(1-y)j+(-3-z)k
d'autre part AB=2j

donc AB=DC est équivalente à :
1-x=0
et
1-y=2
et
-3-z=0

équivalente à:
x=1
y=-1
z=-3

les coordonnées du point D sont donc (1,-1,-3)



b)Les plans (ABC) et (A'B'C') sont ils secants ou parraleles

? Justifier  

on va calculer det(AB,AC,A'B') et det(AB,AC,A'C')


A'B'=2j                         ; (faites les calcules svp)

et A'C'=2j-6k               ; (faites les calcules svp)

donc vous pouvez remarquez que :

A'B'=AB   et A'C'=AC

donc vous pouvez conclure tout de suite que:

det(AB,AC,A'B') =0 et det(AB,AC,A'C') =0

car dans un determinant si un vecteur est répété deux fois le determinant
est nul.

donc on peut conclure que les plan ABC et A'B'C' sont parallèles.

mais c'est deux plans ils sont soit séparés soint confondus.

comme on a montré à la question d) que B' n'appartient pas au
plan ABC, donc les deux plans ABC et A'B'C' sont parallèles
et séparaés.


voila la solution complète de votre exo.

j'espère que vous l'avez traité entre temps.

dans tous les cas essayez de le refaire sans regarder la solution.

ça me ferait énormément plaisir que je puisse vous aider à comprendre
plutôt qu'à vous donner simplement la solution.

voila bon courage



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