Bonjour mon prof de math m'a donner cette exercice a faire mais je ne comprend pas tout.
EXERCICE 3.22 (Chaîne de MARKOV).
Une marque a une clientèle fidèle avec un produit A. Elle a lancé sur le marché un nouveau produit B. Après quelques
mois de vente, une enquête auprès de sa clientèle détermine que chaquemois :
• 20 % des acheteurs du produit A abandonnent A pour choisir le produit B ;
• 10 % des consommateurs du produit B sont déçus et reviennent au produit A.
On étudie une population fixe de 24 000 consommateurs de cette marque, répartis le mois de l'enquête en 15 000 personnes
consommant le produit A et 9 000 consommant le produit B.
On note an et bn les nombres de consommateurs de A et de B au bout de n mois. On a donc a0 = 15000 et b0 = 9000.
On a toujours an +bn = 24000. On veut évaluer l'évolution de la distribution des consommateurs entre les produits A
et B à long terme.
1. À l'aide de la calculatrice.
(a) Montrer que
¡ (a1 b1=a0 b0)*(0,8 0,2)
                   (0,1 0,9)

.
On notera M =(0,8 0,2)
               (0,1 0,9)

.(b) Exprimer (a2 b2)en fonction de (a0 b0)et de M.
(c) Calculer, à l'aide de la calculatrice, les puissances successives de M et la répartition des consommateurs
correspondante, jusqu'à n = 20.
(d) Quelle semble être la distribution à long terme des consommateurs entre les deux produits ?

(c) i. La distribution obtenue confirme-t-elle les résultats obtenus à la calculatrice ?
ii. Le directeur voudrait savoir comment aurait évolué cette distribution si celle de départ avait été différente.
En observant la distribution à n = 30 après chaque modification, modifier les cases correspondant à a0
et b0 de la façon suivante :

• a0 = 20000 et b0 = 4000 ;
• a0 = 24000 et b0 = 0 ;
• a0 = 10000 et b0 = 14000 ;
• a0 = 5000 et b0 = 19000 ;
• a0 = 0 et b0 = 24000.
Répondre alors au directeur.

la question 1 j'y est répondu en faisant le calcul:
(a1 b1) (a0 b0)* (0.8  0.2)
                    (0.1 0.9)
15000 9000 * (0.8 0.2)    (12000 3000)
                (0.1 0.9)    (900 8100)
Par contre je ne sais pas comment trouver la question (b) je ne vois pas comment calculer les coefficient directeur
Pouvez vous m'aidez merci