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maths financières

Posté par Profil amethyste 03-06-20 à 11:20

Bonjour et merci d'avance pour toute réponse

J'ai trouvé une vidéo sur le net dans laquelle

il me semble que le prof fait une erreur (j'ai écris faux en surligneur)

** image supprimée **

normalement moi je trouve (ma démo ci-dessous)

V_n=a\left(1+i\right)\dfrac {\left(1 + i\right)^n-1}{i}

____
démonstration

Il existe des annuités de placement pour les épargnants qui versent

à intervalle régulier une même somme d'argent pour constituer à

l'échéance un capital plus important avec des intérêts composés

t taux d'épargne proportionnel ou actuariel équivalent

V_i =  A versement de valeur constante   A   effectué au temps     i

E_i  =  C_i  + V_i somme soumise à l'épargne au temps    i

C'est la somme du capital réalisé et du versement effectué au temps    i

C_i  =  E_{i-1}  +  E_{i-1}  t   on pose    C_0  =  0

Le calcul du capital ne prend pas en compte le versement    V_i

effectué au temps    i

Ce calcul prend en compte uniquement l'argent épargné    E_{i-1}

au temps précédent et sur lequel agit le taux d'épargne    t

I_i  =  C_i  -  \displaystyle \sum _{j=0}^{i-1}  V_j on pose    I_0  =  0

Intérêts perçus au temps    i

Lorsque à une échéance de versement au temps    i

l'épargnant décide de cloturer son placement alors son

versement au temps    i   sera nul et il récupèrera son capital

de valeur    C_i

Les intérêts qu'il aura réalisésur son placement seront la différence

entre son capital    C_i   et tous ses versements    \displaystyle \sum _{j=0}^{i-1}  V_j

Calculs

C_i  =  E_{i-1}  +  E_{i-1}  t  =  E_{i-1}  \left(1  +  t\right)  =  \left(C_{i-1}  +  A\right)  \left(1  +  t\right)  =  

C_{i-1}  \left(1  +  t\right)  +  A  \left(1  +  t\right)   pour    i  =  1   on obtient    C_i  =  A  \left(1  +  t\right)

On considère la relation    C_k  =  C_{k-1}  \left(1  +  t\right)  +  A  \left(1  +  t\right)  

C_i  =  C_{i-1}  \left(1  +  t\right)  +  A  \left(1  +  t\right)  

On remplace    C_{i-1}   selon la relation précédente et on obtient:

C_{i-1}  =  C_{i-2}  \left(1  +  t\right)  +  A  \left(1  +  t\right)   de sorte que

C_i  =  \left(C_{i-2}  \left(1  +  t\right)  +  A  \left(1  +  t\right)\right)  \left(1  +  t\right)  +  A  \left(1  +  t\right)  =  

C_{i-2}  \left(1  +  t\right)^2  +  A  \left(\left(1  +  t\right)  +  \left(1  +  t\right)^2\right)
  
pour    i  =  2   on obtient    C_i  =  A  \left(\left(1  +  t\right)  +  \left(1  +  t\right)^2\right)

Plus généralement en posant    q  =  1  +  t   on obtient    C_i  =  A  \left(q  +  q^2  +  ...  +  q^i\right)

Pour une suite    \left(u_n\right)   de raison    q  \neq   1   son terme général est :    u_n  =  u_0  q^n

Le terme général de la suite des sommes partielles de la série    \displaystyle \sum   u_n   est:

\sigma _n  =  u_0  +  u_1  +  ...  +  u_n  =  u_0  \left(q^0  +  q^1  +  ...  +  q^n\right)  =  \dfrac {u_0  \left(1  -  q^{n+1}\right)}{1  -  q}

donc    q^0  +  q^1  +  ...  +  q^n  =  \dfrac {1  -  q^{n+1}}{1  -  q}

C_i  =  A  \left(\dfrac {1  -  q^{n+1}}{1  -  q}  -  1\right)  =  A  q  \dfrac {q^n  -  1}{t}

on a donc la formule  C_i = A \left(1 + t\right) \dfrac {\left(1 + t\right)^n  -  1}{t}

en re écrivant la formule selon les notations de la vidéo on a

V_n=a\left(1+i\right)\dfrac {\left(1 + i\right)^n-1}{i}

Posté par Profil amethystere : maths financières 03-06-20 à 11:28

on ne peut pas voir l'erreur du prof si vous supprimez l'image

essayons autrement

Le prof dit que si on place verse une somme constante pour un placement à un taux équivalent i

alors au bout de n périodes le capital sera de valeur

V_n=a \dfrac {\left(1+ i\right)^n-1}{i}

mais moi je ne trouve pas cela

ma démo donne plutôt

V_n=a\left(1+i\right)\dfrac {\left(1+i\right)^n-1}{i}

Posté par Profil amethystere : maths financières 03-06-20 à 11:56

j'ai écris la formule donnée par le prof et que je conteste dans mon message précédent

pourriez vous me confirmer son erreur s'il vous plait?

Posté par Profil amethystere : maths financières 03-06-20 à 12:55

de toute façon avec sa formule si on prend n=1 l'intérêt est nul

Posté par Profil amethystere : maths financières 03-06-20 à 13:24

ça fait peur

j'ai regardé tous les commentaires de la vidéo (y compris ceux écris en arabe ) et personne ne dit rien sur la faute du prof

ce monde est en train de marcher sur la tête :

IL NE FAUT JAMAIS FAIRE CONFIANCE À PERSONNE ET NE JAMAIS SE LAISSER IMPR

Posté par
Vertigore : maths financières 03-06-20 à 13:28

Bonjour Amethyste,
la formule de votre prof est parfaitement exacte.
C'est, du reste, la formule très classique de la valeur acquise d'une suite d'annuités constantes qui traîne dans tous les précis de math fi.
Mais cette formule donne la valeur acquise à la date de versement de la dernière annuité , c'est à dire, plus précisément, juste après le versement de cette dernière annuité, tandis que votre formule donne cette valeur acquise une période après le versement de la dernière annuité.
Toute la différence vient de là.
Si vous m'en donnez le temps, je peux détailler davantage.

Cordialement

Vertigo

Posté par Profil amethystere : maths financières 03-06-20 à 13:37

Bonjour Vertigo la formule du wiki (voir à la fin du message) est exactement la même que la mienne

de plus comment expliquez vous que pour n=1 sa formule donne un intérêt nul?

il donne la valeur de a au premier versement puis quand vient le second versement à effectuer le capital est "a" et non pas de valeur : "a(1+i)"

comme le fait ma formule et celle du wiki

wiki annuités de placement

Posté par
Vertigore : maths financières 03-06-20 à 16:11

Bonjour  à nouveau Amethyste,
Veuillez m'excuser d'enfoncer des portes largement ouvertes, mais votre réaction dubitative m'y conduit :
La formule de Wikipedia, comme celle résultant de votre propre calcul, donne la valeur acquise une période après le versement de la dernière annuité.
Dans le cas de la formule "standard" rappelée par votre prof, il s'agit de la valeur acquise à la date de la dernière annuité, celle ci étant supposée  déjà versée.
Dans ces conditions, qui constituent l'hypothèse ordinairement retenue, il est parfaitement logique que, le nombre d'annuité étant réduit à 1, (cas où n=1), l'intérêt soit nul, puisqu'il est calculé sur un intervalle de temps nul.
On peut aussi envisager cette valeur acquise, dans ce cas particulier où il n'y a qu'une seule annuité de montant a, comme étant égale  à :
a.(1+i)0 = a
Tout est donc une question de convention.

Cordialement.

Vertigo

Posté par Profil amethystere : maths financières 04-06-20 à 06:48

Merci Vertigo

Oui donc c'est juste une question de convention


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