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[Matrice 2x2] Système d'équations avec fonctions circulaires

Posté par Boss_maths 12-01-11 à 16:17

Bonjour à tous/toutes,

Voici un exercice sur lequel j'ai appliqué, pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues, la méthode de résolution matricielle.
La méthode de substitution était peut être plus simple à utiliser ? Je me demande aussi, SI les résultats sont justes, comment peut-on améliorer la correction ?

--- Enoncé :
Résoudre le système de 2 équations à 2 inconnues x et y :
3$\left\{ \\ \begin{array}{rcr} \\ x&=&Rcos(\alpha)+xcos(\alpha)-ysin(\alpha)\\ \\ y&=&Rsin(\alpha)+xsin(\alpha)+ycos(\alpha)\\ \\ \end{array} \\ \right.

--- Ma solution :
Pour faire apparaître des coefficients de matrice, je transforme ainsi :
3$\left\{ \\ \begin{array}{rcr} \\ x(cos(\alpha)-1)-ysin(\alpha)&=&-Rcos(\alpha)\\ \\ xsin(\alpha)+y(cos(\alpha)-1)&=&-Rsin(\alpha)\\ \\ \end{array} \\ \right.
La représentation du système en écriture matricielle est :
3$[\array{cos(\alpha)-1&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)-1}][\array{x\\y}]=[\array{-Rcos(\alpha)\\-Rsin(\alpha)}]
Le déterminant principal de ce système est :
3$D=[\array{cos(\alpha)-1&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)-1}]=(cos(\alpha)-1)^2+sin^2(\alpha)=2(1-cos(\alpha))
Pour le calcul des inconnues on forme les 2 déterminants secondaires associés à x et y :
3$D_x=[\array{-Rcos(\alpha)&-sin(\alpha)\\-Rsin(\alpha)&cos(\alpha)-1}]=-Rcos(\alpha)(cos(\alpha)-1)-Rsin^2(\alpha)=-Rcos^2(\alpha)+Rcos(\alpha)-R(1-cos^2(\alpha)=R(cos(\alpha)-1)
3$D_y=[\array{cos(\alpha)-1&-Rcos(\alpha)\\sin(\alpha)&-Rsin(\alpha)}]=-Rsin(\alpha)cos(\alpha)+Rsin(\alpha)+Rsin(\alpha)cos(\alpha)=Rsin(\alpha)
Finalement, les solutions du système initial sont :
3$x=\frac{D_x}{D}=\frac{R(cos(\alpha)-1)}{2(1-cos(\alpha))}=-\frac{R}{2}
3$y=\frac{D_y}{D}=\frac{Rsin(\alpha)}{2(1-cos(\alpha))}, résultat qui dépend de \alpha une erreur
- Important : le système possède des solutions ssi le determinant 3$D0, c-a-d :
2(1-cos(\alpha))=0 cos(\alpha)=1 \alpha=2k\pi avec k

Merci beaucoup de vérifier les calculs,
@+

Posté par
raymond Correcteurre : [Matrice 2x2] Système d'équations avec fonctions circulaire 12-01-11 à 18:36

Bonsoir.

Je trouve également :

D = 2(1 - cos(a))

D(x) = - R(1 - cos(a))

D(y) = Rsin(a)

D = 0 cos(a) = 1 a = 2k

Si a = 2k, le système s'écrit :

0 = R
0 = 0

Sauf si l'on envisage la possibilité R = 0, le système n'a pas de solution.

Si a 2k, il y a une solution unique :

3$\textrm ( \fra{-R}{2} ; \fra{Rsin(a)}{2(1-cos(a))} )

Remarque :

sin(a) = 2sin(a/2)cos(a/2)

1 - cos(a) = 2sin²(a/2)

Posté par Boss_mathsCorrigé 12-01-11 à 19:34

Merci pour la vérification.
Grâce à ta remarque, je trouve 4$y=\frac{1}{2tg(\frac{\alpha}{2})}
Bonne soirée @+

Posté par
raymond Correcteurre : [Matrice 2x2] Système d'équations avec fonctions circulaire 12-01-11 à 19:45

Bonne soirée également.


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