Bonsoir, j'ai un exercice sur les matrices qui me pose problème. Étant absent durant le cours, je ne comprends pas bien.

Je pose :
On suppose que trois circuits de distribution de films se partagent exclusivement les salles de cinéma françaises :
circuit Action (A), circuit Boulevard (B) et circuit Ciné-club (C). On suppose que; d'un mois sur l'autre, pendant au moins 1 an :
A conserve 80% de son implantation, mais en perd 10% au profit de B et 10% au profit de C.
B conserve 70% de son implantation, mais en perd 20% au profit de A et 10% au profit de C.
C conserve 60% de son implantation, mais en perd 30% au profit de A et 10% au profit de B.
On suppose, de plus, que le parc des salles reste stable durant cette période.
On note Pn = [ an bn cn ] la matrice ligne
an désigne le pourcentage des salles, où A est implanté à la fin du n-ième mois de cette étude ;
bn le pourcentage des salles, où B est implanté ;
cn le pourcentage des salles, où C est implanté.

1) Exprimer a1, à l'aide de a0, b0 et c0
Même question pour b1 et c1
En déduire la matrice de transition M telle que :
p1 = p0 M

2) Exprimer a2, b2, c2 à l'aide de a1, b1 et c1.
En déduire que p2 = p1 M
Exprimer à l'aide de M, la matrice T telle que :
p2 = p0 T

3) Exprimer à l'aide de la matrice de transiton M, la matrice U telle que :
p3 = p0 U
puis les matrices V et W telles que
p6 = p0 V et p12 = p0 W

4)Au bout de 3 mois, depuis le départ, quelle sera la part de l'implantation que C aura conservé ?
Combien en aura t-il perdu au profit de A ? de B ?
Quelle sera la part que C aura acquise de l'implantation de A ? De celle de B ?

5) Au départ de l'étude, les parts d'implantation sont respectivement de 20% pour A, 50% pour B et 30% pour C.
Que sont -elles devenus :
Au bout de 3 mois ? De 6 mois ? d'un an ?

Voilà, merci de votre aide. Cordialement, Nez0