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méthode d'euler

Posté par
rec094 17-04-11 à 18:07

Soit f(x) =x2 sur I = [0,2] et l'algorithme suivant :
x0=0
y0=f(x0)=0
Entrer une valeur de h. Pour tous les x ; I, on fait :
xi=xi-1+ h
yi= f(xi+h)= f(xi+ hf'(xi)
Placer les points Mi(xi;yi)
Tracer les segments [MiMi+1] en couleur

1) En détaillant les calculs, faire tourner cet algorithme pour h=1 (en rouge)
2) a) Remplir chaque tableau :

- pour h = 0,5

xiyi
......



- pour h = 0,2
xiyi
......


b) Tracer la fonction f(x) =x2 sur [0,2] avec précision (en noir)
c) Les courbes C1, C0,5 et C0,2 sont tracées par approximations affines.
Quelle est selon vous la meilleure approximation. Pourquoi?

Je n'arrive pas à résoudre cette partie d'exercice.

Posté par
Hiphigeniere : méthode d'euler 18-04-11 à 19:44

Bonjour rec094

Citation :
Je n'arrive pas à résoudre cette partie d'exercice.
De quelle partie parles-tu ?

Posté par
rec094re : méthode d'euler 18-04-11 à 20:09

je parle de toutes les questions que j'ai écrite.
car il y a des questions que j'ai enlevé ( car j'ai réussi à les faire )
Merci d'avance pour vos explications.

Posté par
Hiphigeniere : méthode d'euler 18-04-11 à 21:44

On a : f(x) = x² f'(x) = 2x.

1) h = 1.

\rm x_i = x_{i-1} + h

Nous avons ainsi :

\rm x_0 = 0 ;\\x_1 = x_0 + 1 = 0 + 1 = 1;\\x_2 = x_1 + 1 = 1 + 1 = 2

Nous savons que  \rm f(x_i+h) = f(x_i) + hf'(x_i).

\rm f(x_1) = f(x_0+h) = f(x_0) + hf'(x_0), soit \rm f(1) = f(0) + hf'(0), ou encore \rm f(1) = 0 + 1 \times\ f'(0).

Vu que f'(x) = 2x f'(0) = 2*0 = 0, il suffit de remplacer f'(0) par 0 pour déterminer f(1).

\rm f(1) = 0 + 1 \times\ 0 = 0.

Tu calcules ensuite \rm f(x_2) = f(x_1+h) = f(x_1) + hf'(x_1) de la même manière.

Posté par
rec094re : méthode d'euler 21-04-11 à 01:38

c'est fait
et pour la suite?

Posté par
Hiphigeniere : méthode d'euler 21-04-11 à 07:14

Qu'obtiens-tu comme coordonnées pour les point M0, M1 et M2 ?

Posté par
rec094re : méthode d'euler 21-04-11 à 14:09

M0(0;0).   M1(1;0)    Et M2(2;3)

Posté par
Hiphigeniere : méthode d'euler 21-04-11 à 14:13

M2 n'est pas correct...

Posté par
rec094re : méthode d'euler 21-04-11 à 14:18

Ba pourtant sa fait 12+1*2

Posté par
coclicore : méthode d'euler 21-04-11 à 17:14

Bonjour,

Je ne comprend pas les calculs de f(x1)
Si f(xi)= f(xi+h) alors f(x1)= f(x1+h)

Posté par
rec094re : méthode d'euler 21-04-11 à 17:56

Pareil

Posté par
Hiphigeniere : méthode d'euler 21-04-11 à 18:18

Citation :
Si f(xi)= f(xi+h) alors f(x1)= f(x1+h)
On remplace i par 1 !

Posté par
Hiphigeniere : méthode d'euler 21-04-11 à 18:26

... autrement dit : i prend la valeur 1 !

Posté par
Hiphigeniere : méthode d'euler 21-04-11 à 19:19

Je viens de bien relire le post de 17h14.

Attention, f(xi) f(xi+h) !

Nous avons plutôt f(xi) = f(xi-1+h), puisque xi = xi-1 + h.

Ainsi, f(x1) = f(x0+h) et f(x2) = f(x1+h)...

Posté par
rec094re : méthode d'euler 22-04-11 à 00:08

Justement on devrait avoir f(x1) = f(x1+h) et non f(x0+h)

Posté par
Hiphigeniere : méthode d'euler 22-04-11 à 08:00



Si tu écris que f(x_i)=f(x_i+h), nous aurions tous des f(x_i) égaux.

Comme x_1=x_0+h, en écrivant f(x_i)=f(x_i+h), nous aurions f(x_0)=f(x_0+h), soit f(x_0)=f(x_1).

Comme x_2=x_1+h, en écrivant f(x_i)=f(x_i+h), nous aurions f(x_1)=f(x_1+h), soit f(x_1)=f(x_2).

Par conséquent, nous aurions f(x_0) =f(x_1)=f(x_2).

En fait, tu n'as pas l'air de bien comprendre la méthode d'Euler.

La méthode d'Euler consiste à utiliser l'approximation affine d'une fonction.

Si f est dérivable sur un intervalle I, a et b des réels de I, b proche de a, alors : f(b)≈f(a) + (b-a)f '(a).
Si l'on connait f(a) et f '(a) alors on obtient ainsi une valeur approchée de f(b).

Cette méthode d'Euler permet d'obtenir une valeur approchée d'une valeur d'une fonction en un point en connaissant sa valeur en un autre point et sa dérivée.

Elle permet alors la construction d'une représentation graphique approchée de la fonction étudiée.

Dans notre cas, nous allons calculer y_1 = f(x_1) par l'approximation affine de f en x_0.

Cette approximation affine est donnée par f(x_1) = f(x_0) + hf'(x_0)

De même ; nous allons calculer y_2 = f(x_2) par l'approximation affine de f en x_1.

Cette approximation affine est donnée par f(x_2) = f(x_1) + hf'(x_1)

Nous aurons ainsi :

x_0=0 et y_0=f(x_0)=0 comme indiqué au début de l'énoncé.

x_1=1 et \rm y_1 = f(x_1) = f(x_0) + hf'(x_0)= 0 + 1 \times\ 0 = 0.

x_2=2 et \rm y_2 = f(x_2) = f(x_1) + hf'(x_1)= 0 + 1 \times\ 2 = 2.

D'où les points \rm M_0(0 ;0), M_1(1 ;0) ; M_2(2 ;2)

Posté par
rec094re : méthode d'euler 24-04-11 à 02:37

ah d'accord . Et pour la suite?

Posté par
Hiphigeniere : méthode d'euler 24-04-11 à 07:27

Eh bien, tu fais la même chose avec h = 0,5 et h = 0,2.

Posté par
rec094re : méthode d'euler 25-04-11 à 14:24

donc on a f(x0)=0
f(x1)= f(x0)+hf'(0)= 0 + 0,2 0=0
f(x[sub2[/sub])=1+0,2*2=1,4 ??

Posté par
Hiphigeniere : méthode d'euler 25-04-11 à 19:48

Non, malheureusement ce n'est pas correct.

Mais il faut d'abord faire le calcul pour h = 0,5.

\rm f(x_1) = f(x_0) + hf'(x_0)

On sait que f(x0) = 0, que x0 = 0.

Sachant que f'(x) = 2x, on a : f'(x0) = f'(0) = 2*0 = 0.

On peut alors calculer f(x1).

\rm f(x_1) = f(x_0) + hf'(x_0) = 0 + 0,5 \times\ 0 = 0, sachant que x1 = x0 + h  = 0 + 0,5 = 0,5.



Ensuite  \rm f(x_2) = f(x_1) + hf'(x_1)

On vient de voir que f(x1) = 0, que x1 = 0,5.

Sachant que f'(x) = 2x, on a : f'(x1) = f'(0,5) = 2*0,5 = 1.

On peut alors calculer f(x2)…

\rm f(x_2) = f(x_1) + hf'(x_1) = 0 + 0,5 \times\ 1 = 0,5



Peux-tu calculer f(x3) ?


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