Bonjour STL

Sur un exemple : f(x)=sin(x)

le minimum de f est -1, son maximum est 1.

Tout réel inférieur ou égal à -1 est un minorant de f, tout réel supérieur ou égal à 1 est un majorant de f.

sauf erreur

un minorant de f(x) sur un interval d'etude est une valeur m telle que
quelque soit x dans l'intervalle d'etude, m < f(x). Donc m peut etre n'importe quelle valeur tant que m < f(x)
par contre le minimum de f(x) sur l'intervalle d'etude est la plus petite valeur que peut prendre f(x). M est un minimum de la fonction tel qu'il existe au moins un x pour que f(x) = M et quelque soit x sur l'intervalle d'etude, f(x) >= m

c'est pareil dans l'autre sens pour les maxi et majorant

Bonjour littleguy,

Je ne comprends pas :

si le minimum de f est -1, alors comment on peut avoir f(x) < -1 ?

Merci.

Estelle

Byleth,

Un minorant est donc un minimum local, tandis que un minimum est un minorant global ?

Merci.

Estelle

j'aurais du présenter la chose a l'envers :

m est le minimum de la fonction sur l'intervalle d'etude alors il existe un x_m tel que f(x_m) = m et quelque soit x dans l'intervalle d'etude, f(x) >= m

les minorants M de cette fonction sur l'intervalle d'etude sont toutes les valeurs strictement inférieur à m : M < m

c'est mieux comme ca ?
sinon j'explique autrement pour voir ...

STL :

Justement, on ne peut pas avoir f(x) < -1

sur le cas de la fonction sinus :

quel que soit x on a sin(x) -1, et, entre autres, a fortiori sin(x) -3, donc -1 et -3 sont deux minorants de f.

(voir post de byleth)

Je ne comprends pas la mêm chose qu'à 15:19 :

Si f(x) >= m et M < m, alors on n'aura jamais f(x) = M ?

Estelle

littleguy, peux-tu prendre un autre exemple que la fonction sinus ? Je suis en seconde et nous n'avons pas encore fait la trigo...

Merci

Estelle

Je présente les choses autrement : le minimum de f est un minorant de f. Tout nombre inférieur au minimum est également un minorant de f.

Le fait qu'on soit deux à te répondre doit te déstabiliser, je m'éloigne

dsl pour la seconde explication j'ai inverser les varaibles. gardons m le minimum et M le minorant.
oui quelque soit f(x) < M et non f(x)<=M

par exemple,

la fonction x² a pour minimum 0 et toute les valeurs inférieures à 0 minorant de la fonction sur IR. donc -0.0000001 minore la fonction

Je comprends beaucoup mieux ta nouvelle présentation. En tout cas, la 1ere partie le minimum de f est un minorant de f...

... mais pas la suite : Tout nombre inférieur au minimum est également un minorant de f.
Il s'agit de la définition propre d'un minimum : il n'y a pas de valeur de f(x) inférieur au minimum. ?

_{Tu n'es pas obligé de t'éloigner. Le fait que vous soyez deux ne me déstabilise pas.}

Byleth, je ne comprends pas.

Estelle

oupsssssssss

littleguy avait raison, je suis dsl.

les minorant sont les valeurs inférieur à m : M m.

Donc m est un minorant. Mais tous les minorants ne sont pas minimum.

Un autre essai alors :

la fonction "carré"

f(x)=x²

quel que soit x dans R on a f(x) 0

0 est le minimum de f, et c'est aussi un minorant.

Et tout nombre inférieur à zéro est aussi un minorant de f, par exemple -5.
En effet quel que soit x on a f(x) -5

J'ai peur de t'embrouiller.

Byleth,

C'est ce que je ne comprends pas : il n'y a pas de valeurs de f(x) inférieures à 0.

f(x) ne peut pas être égale à -0.0000001 !

Estelle

littleguy, tu ne m'embrouilles pas du tout

Donc un minorant (mis à part celui qui est aussi minimum) n'est jamais atteint ?

Estelle

Un minorant (ou un majorant) n'est pas forcément une valeur prise par la fonction, alors que le minimum (ou maximum) est une valeur prise par la fonction.

Un minorant (ou un majorant) n'est pas forcément une valeur prise par la fonction

Un exemple dans lequel un minorant est atteint ?

Merci

Estelle

Les posts se croisent et s'entrecroisent, où en es-tu STL ?

Oui.

J'ai compris quelque chose de plus par rapport au départ, quelque chose d'important :

Le minimum de f est aussi un minorant de f.

Ensuite, je ne comprends pas comment un minorant peut être atteint : s'il s'agit d'une valeur inférieur au minimum, alors cette valeur n'est jamais atteinte, puisque le propre d'un minimum est que f(x) est toujours supérieur à ce minimum.

Estelle

Dès qu'il y a un minorant il y en a une infinité, donc je pourrai toujours te trouver un minorant non atteint (pour cela il me suffir de donner un nombre strictement inférieur au minimum : ce sera un minorant, et non atteint : par exemple -5 pour la fonction "carré")

Je crois qu'on y arrive

Un maximum est une valeur atteinte par la fonction dire que M est un maximum signifie qu'on peut trouver un x tel que f(x) = M

Un majorant n'est pas forcément atteint par la fonction M' est un majorant si f(x) < M'

Idem pour le minimum et minorant (un minimum est atteint par la fonction pas le minorant)

Je crois aussi

Donc un minorant (sauf le minimum) n'est jamais atteint ?

Merci

Estelle: P

Bourricot :

Que ce soit littleguy ou toi, vous écrivez :

Un majorant n'est pas forcément atteint par la fonction

Ce qui laisse entendre qu'il peut l'être.

Mais je ne vois pas quand un minorant, s'il ne s'agit pas du minimum, peut être atteint.

Merci.

Estelle

tient peut etre que ca pourra t'aider, avec un petit schéma m'ai je pense que tu tiens le concepte

Donc, un minorant (m) n'est jamais atteint ?

Estelle

On peut dire ça comme ça. On touche là un domaine un peu "raffiné", la topologie ; tu peux si ça t'intéresse faire quelques investigations sur la toile en tapant "majorant", "borne supérieure", ...

bin dans ce cas là ils sont sont égaux
Si une fonction a un maximum alors tout nombre >= à ce maximum sera un majorant ; il y en aura un qui sera atteint = le maximum

Jolie et explicite ton illustration, byleth !

Merci.

Effectivement, la topologie, du moins cet aspect, m'attire.

Pour résumer :

a est un minorant ou un majorant de f s'il n'est jamais atteint :

Un minorant si a < m

Un majorant si a > M

C'est bien ça ?

Estelle

merci littleguy

STL, disons que le minimum est le plus grand minorant et le maximum est le plus petit des majorants.

en effet majorant f(x) et non <

oupsssssss
c'est minorant f(x)

OK merci beaucoup byleth, Bourricot et surtout littleguy

Estelle

STL (j'écris ça car plusieurs intervenants sont présents)

Ta formulation de 15:58 est très ambiguë voire carrément incorrecte : on lit d'emblée "a est un minorant ou un majorant de f s'il n'est jamais atteint", ça ne va pas !

Il faut le rédiger autrement : "un minorant autre que le minimum...."

Reporte-toi simplement à la définition :
Soit A une partie non vide d'un ensemble ordonné E ; un élément m de E est appelé un minorant de A si et seulement si tout élément de A est supérieur ou égal à m.

J'ai compris.

Merci.

Cependant, ça m'embête de ne pas pouvoir répondre à :

Un minorant autre que le minimum peut-il être atteint ?

Estelle

La réponse est "non", sauf erreur.

et bien notons Em l'ensemble des minorants (ragarde la figure)
le minimum m de la fonction sur l'intervalle d'etude est le plus garand des minorants. donc quelque soit p Em et p m alors p < m

or le minimum de la fonction est la valeur le plus peite que peut prendre la fonction : soit x_m tel que f(x_m) = m alors quelque soit x sur l'intervalle d'etude de la fonction f(x) >= m

donc x apartenant a l'intervalle d'etude p < m f(x)

Merci.

Estelle

Tu as très bien formulé ta question et répondu implicitement à 15:50.

Merci beaucoup.

Estelle

Bonjour Nicolas_75 :)

Nous sommes finalement tous d'accord, mais le remue-méninges (premier nom du "trivial pursuit" en France) est très formateur.

Bonjour littleguy, et bonjour à tous !

Estelle

Juste une dernière chose.

Si je dois prouver que m est le minimum de f, alors il faut prouver que f(x) > m et qu'il existe un réel p tel que f(p) = m.

C'est bien ça ?

Merci.

Estelle

Plus précisément il suffit (il peut y avoir d'autres méthodes...) et f(x) m (pas strictement)
OK pour la suite

Merci

Estelle

ce serait peut etre plus simple de montrer que si m miminum de la fonction p < m alors x sur l'intervalle d'etude, f(x) > p...
a toi de voir ce qui est plus simple pour toi