Bonjour quand même laetitia

Soit B1 l'événement "la 1ère boule tirée est blanche"
Soit B2 l'événement "la 2ème boule tirée est blanche"
Soit R1 l'événement "la 1ère boule tirée est rouge"
Soit R2 l'événement "la 2ème boule tirée est rouge"

P(R2)=P(R1 et R2) + P(B1 et R2)
=P(R2 sachant R1)*P(R1) + P(R2 sachant B1)*P(B1)
=2/6*3/7 + 3/7*4/7*
=1/7+12/49=19/49.

P(R1 sachant R2)=P(R1 et R2)/P(R2)=(1/7) / (19/49)=7/19.

On peut aussi faire cet exercice en utilisant un arbre.

@+

merci beaucoup je vais méditer ça

Salut,

Victor, je suis d'accord avec tes résultats. Néanmoins cet exo me chiffone
complètement et je suis dans le doute, j'espère que quelqu'un
pourra m'aider. Thx d'avance.

Donc on reste sur le même exo, et je fais la méthode de l'arbre :

    4B
B  3R

    4B
B  3R

    4B
B  3R

    4B
B  3R

    4B
R  2R

    4B
R  2R

    4B
R   2R

Avec cette méthode, on tombe sur :

   4*(3+4) + 3*(4+2)
  = 28 +18 = 46 possibilités

et on trouve une probabilité p(R2) de :

p(R2) = (2*3 + 4*3) / 46

J'utilise la formule "p=nb cas fav./nb cas total" puisque
les tirages sont au hasard et qu'on est en équiprobabilité

p(R2) = 18/46 =9/23

Et on ne retombe pas sur nos 19/49.    

Comment cela se fait-il?
Ça fait une demi-heure maintenant que je planche dessus et je ne comprend
toujours pas.


PISTE POSSIBLE (pas sur du tout)
Je pense que cela vient du fait que l'on combine deux expériences
aléatoires en une seule.
En effet on remet la boule tirée au premier tirage SSI elle blanche
et non si elle est rouge.
Je pense que ceci fausse la calcul du nb de cas possibles.



Je m'explique. Considérons la même expérience, mais on remet la
boule qu'elle soit blanche ou rouge. Ici, il faut compter le
nb de cas possibles :

7*7=49

Calculons les possibilités pour que une boule rouge soit tirée en 2eme :

7*3=21

Ce qui donnerait p(R2) = 21/49 = 3/7

Ici, on pourrait également utiliser le calcul plus rapide :

p(R2)=7/7*3/7 = 1*3/7 =3/7

On retombe sur le même nombre. Ceci parce-que (selon moi), on ne fausse
pas le nb de cas possibles puisque quelle que soit celle des 7 boules
tirées, on la remettra.


Cependant, en revenant à notre énoncé, si l'on fait le calcul :

p(R2)=4/7*3/7 + 3/7 * 2/6 = 19/49
cela revient au meme calcul que Victor

Je pense que l'on fausse le nb de cas total car on additionne les
probabilités de deux expériences différentes (selon que la première
boule tirée est rouge, ou blanche), ces deux expériences ayant un
nb différent de cas possibles.

On ne peut donc pas (selon moi) utiliser un tel raccourci (même si dans
la plupart des autres expériences cela revient au même). On doit
donc calculer le nb de cas possibles et le nb de cas favorables séparémment.

NB CAS POSSIBLES
Si on tire 1 des 4 boules blanches, on aura encore un autre tirage de
7 boules ET si on tire 1 des 3 boules rouges, on aura encore 6 tirages.
Cela donne :

4*7 + 3*6 = 28 +18 =46 possibilités

NB CAS FAVORABLES
Si on tire une des 4 boules blanches, on a encore 3 chances de tomber
sur 1 rouge au second tirage. Si on tire 1 rouge au premier tirage,
on a encore 2 chances de tomber sur une rouge. Ce qui donne :

4*3 + 3*2=12 + 6=18 cas favorables

On retomberait alors sur : p(R2) = 18/46 =9/23
Et d'ailleurs, il me semble que pour  P(R1 | R2), on aurait alors
:

p(R1 | R2) = 6/18 = 1/3
cf arbre ou même formule que Victor après avoir calculé P(R1 ET R2)
et P(R2)  avec cette nouvelle piste


Voilà, je suis perdu   , car je ne sais pas laquelle des deux méthodes
est la bonne. Les deux méthodes me parraissent inattaquables mathématiquement.
Et pourtant, il y en aura bien une qui s'avèrera fausse.

J'ai proposé ma piste, mais je suis aussi d'accord avec cette piste
qu'avec la méthode de Victor, que j'avais d'ailleurs
réallisée en première.

Je suis vraiment perdu (je me répète? ). SVP aidez-moi !!!
Merci d'avance .

À +

Salut,
Personne pour m'aider ???
Allez, je post ce message dans le but de faire remonter ce message en tête
de file et, j'espère, attirer un peu plus l'attention sur
ce problème qui me semble important.
Merci d'avance.

À +

Bonsoir Belge*FDLE,

Malheureusement, ta méthode est fausse et donc attaquable mathématiquement.
Un première question pour avoir une explication, tu écris p(R2) = (2*3
+ 4*3) / 46.... Pourquoi ?

Ensuite, tu réponds toi-même à ton problème :
"Je pense que cela vient du fait que l'on combine deux expériences
aléatoires en une seule.
En effet on remet la boule tirée au premier tirage SSI elle blanche
et non si elle est rouge.
Je pense que ceci fausse la calcul du nb de cas possibles. "
Les univers des possibles ne sont pas les mêmes pour ces deux expériences
et on ne peut donc pas utiliser la formule d'équiprobabilité
en regroupant les deux expériences.

@+

Salut,
Voilà, merci Victor. Tu as raison, et ta méthode est la bonne.
Par contre, la méthode de l'arbre n'est pas bonne (du moins
avec ce que je sais faire pour le moment en terme d'arbre
) pour cet exercice.
Donc... Tout est de sa faute !!! Non je rigole, c'est de ma faute,
je n'avais pas assez réflechis .


1) EXPLICATION

Bon, je vais quand même t'expliquer mon :
(2*3 + 4*3) / 46

que j'aurais dû présenter en fait :
(3*2 + 4*3)/46

Ceci vient de la méthode de l'arbre, mais en voulant trop expliquer,
on finit par embrouiller plus qu'autre chose .
Je refais mon arbre :
  
    4B                      4B
B   3R                R     2R

    4B                      4B
B   3R                R     2R

    4B                      4B
B   3R                R     2R

    4B
B   3R

En fait, 46 correspond au nombre de cas possibles.
Et on vois qu'on a 18 cas favorables pour l'évènement R2 :
"La seconde boule tirée est rouge".

Et 18 = (3_R1 * 2_R2 + 4_B1 *3_R2)

En fait, ce calcul ne correspond qu'à la façon de compter les
cas favorables pour R2:"les second tirage donne une boule Rouge
de l'arbre". Le premier trois correspond au nombre de boules
rouges au premier tirage, le 2 au nombre de boules rouges qu'il
restera si le premier tirage est effectivement Rouge. Le 4 correspond
au nombre de boules blanches au premier tirage et le dernier 3, au
nombre de boules rouges au second tirage, si le prmier tirage donne
bien une boule blanche.

Beaucoup de chose pour rien en fait, car cette méthode de l'arbre n'est
pas valable pour cet exercice, comme je vais essayer de la démontrer
.

2) LA PREUVE

R1:"1er tirage donne boule ROUGE"
R2:"2ème tirage donne boule ROUGE"
B1:"1er tirage donne boule BLANCHE"
B2:"2ème tirage donne boule BLANCHE"

Prenons exactement la même expérience, mais avec seulement 1 boule ROUGE
et 1 boule BLANCHE. On fait donc deux tirages successif et si au
premier tirage, la boule est BLANCHE, on la remet  dans l'urne,
si elle est ROUGE, on ne la remet PAS.
Faisons un arbre (attention, il donne un résultat FAUX!!!) :

     R
B   B

R   B

Ici, on aurait tendance à dire que :

p(R2)=1/3  et p(B2)=2/3

Ce qui est FAUX!!!

En effet, comme le tirage est aléatoire, au PREMIER tirage on a 1 chance
sur 2 de tirer une boule BLANCHE, et 1 chance sur 2 de tirer une
boule ROUGE. Dans ce dernier cas (si on tire ROUGE en premier), au
deuxième tirage, on aura 1 chance sur 1 de tirer BLANCHE (puisqu'on
ne remet pas la ROUGE). Si le premier tirage a donné BLANCHE, on
a alors 1 chance sur 2 que le deuxième tirage donne BLANCHE et 1
chance sur 2 que le second tirage donne ROUGE (puisque la boule BLANCHE
est remise).

On voit alors que :
p(R2)=1/2*1/2=1/4
et
p(B2)=1/2*1 + 1/2*1/2
p(B2)=1/2+1/4=3/4

On peut retrouver ces résultats plus facilement avec la méthode de Victor
qui est donc JUSTE.

CONCLUSIONS =>
*Bravo à Victor pour sa méthode, et merci pour les explications  
    .
**La méthode de l'arbre est FAUSSE pour cet exo.

Voilà,

À +