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Monotonie d'une suite

Posté par
athrun 30-04-09 à 20:42

Bonsoir

je suis bloqué à la dernière question de cet exercice, pourriez-vous m'aider ?

Enoncé :

Citation :

Soit 3$u la suite définie sur 3$\mathbb{N}^* par : 3$u_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{n^2}

1. Donner une valeur approchée au centième des sis premiers termes de la suite.
2. Que peut-on conjecturer sur la monotonie de la suite 3$u ?
3. Calculer 3$u_7, que constate t-on ?
4. Montrer que 3$\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq1 équivaut à 3$(\sqrt{2}-1)n^2-2n-1\geq0.
5. En déduire la monotonie de 3$u à partir d’un certain rang 3$n_0 à déterminer.

Mes réponses :

1.

3$u_1=1,41 \\ u_2=0,50 \\ u_3=0,31 \\ u_4=0,25 \\ u_5=0,23 \\ u_6=0,22

2. On peut conjecturer que 3$u est strictement décroissante.

3. 3$u_7=0,23\rightarrow u_7>u_6, donc u n'est pas strictement décroissante.

4.

6$\frac{\frac{{\sqrt{2}}^{n+1}}{{(n+1)}^2}}{\frac{{\sqrt{2}}^n}{n^2}}\geq1 \\ . \\ . \\ \frac{{\sqrt{2}}^{n+1}n^2}{{\sqrt{2}}^n{(n+1)}^2}\geq1 \\ . \\ . \\ \frac{\sqrt{2}n^2}{{(n+1)}^2}-1\geq0 \\ . \\ . \\ \sqrt{2}n^2-1{(n+1)}^2\geq0 \\ . \\ . \\ \sqrt{2}n^2-n^2-2n-1\geq0 \\ . \\ . \\ \fbox{(\sqrt{2}-1)n^2-2n-1\geq0} \\

5. Là je ne vois pas quoi faire...

Posté par
Bourricotre : Monotonie d'une suite 30-04-09 à 20:50

BOnjour,

Que faire ? Etudier le signe d'un polynôme du second degré pour trouver à partir de quel rang ton expression est 0

Posté par
Labore : Monotonie d'une suite 30-04-09 à 20:55

bonjour,
étudie le signe de ce trinôme

Posté par
Labore : Monotonie d'une suite 30-04-09 à 20:56

bonjour Bourricot

Posté par
Bourricotre : Monotonie d'une suite 30-04-09 à 21:00

Bonjour Labo !

Posté par
athrunre : Monotonie d'une suite 30-04-09 à 22:58


...
ah oui en effet !

Merci à vous deux pour vos réponses !

Soit : 6$(\sqrt{2}-1)n^2-2n-1\geq0 (@)

Donc je calcule le discriminant \Delta :

3$\Delta=(-2)^2-4\times(\sqrt{2}-1)\times-1 \\ \Delta=4+4(\sqrt{2}-1) \\ \Delta=4-4+4\sqrt{2} \\ \Delta=4\sqrt{2}

3$n_1= \frac{2-\sqrt{4\sqrt{2}}}{2(\sqrt{2}-1)}=-0,45

3$n_2=\frac{2+\sqrt{4\sqrt{2}}}{2(\sqrt{2}-1)}=5,29

3$n_1\notin\mathbb{N}^* \\ n_2=5,29 et donc on prend 3$n_0=6 (en entier naturel).

Tableau de signe :

6$\fbox{\begin{tabular}{c|ccccc}n&0&&6&&+\infty\\\hline (@)&||&\searrow&&\nearrow& \\\end{tabular}}

Donc 4$\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq1 à partir de n_0=6, c'est-à-dire la suite (u_n) est strictement croissante à partir du rang n_0, mais cela me semble en contradiction avec ce que j'ai dit plus haut : c'est à partir de u_7 et pas u_6 que le sens de variation change ...

Posté par
athrunre : Monotonie d'une suite 30-04-09 à 23:00

En fait c'est le tableau de variation de [u_n] hein, déduit du signe.

Posté par
Labore : Monotonie d'une suite 30-04-09 à 23:18

Ok
elle décroit jusqu'à U6
U6<U7 puis elle est bien croissante à partir de U6
U5=0,22627417
U6=0,222222222
U7=0,23089201

Posté par
Bourricotre : Monotonie d'une suite 30-04-09 à 23:31

Ne pas confondre un tableau de signe et un tableau de variations !

Ici tu dois étudier le signe d'un polynôme du second degré ! Pas les variations d'une éventuelle fonction que tu ne définis pas !  

Posté par
athrunre : Monotonie d'une suite 01-05-09 à 10:02

Labo : ah oui je me trompais

Bourricot : oui j'ai me*** là...

en tout cas l'exercice étant résolu, je vous remercie de m'avoir aidé

Posté par
Labore : Monotonie d'une suite 01-05-09 à 10:54

Posté par
Bourricotre : Monotonie d'une suite 01-05-09 à 10:59

Je t'en prie !


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