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montrer l'inégalité

Posté par
ysf 16-11-17 à 20:10

bonjour,
je veux une indication pour résoudre cet exercice:

a, b et c des réels strictement positifs.
Montrer que:   racine( 2a/(a+b) ) + racine( 2b/(b+c) ) + racine( 2c/(c+a) ) =< 3

merci àl'avance

Posté par
lakere : montrer l'inégalité 16-11-17 à 21:03

Bonsoir,

S=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z}}\right)

en posant x=\dfrac{b}{a},\qquad y=\dfrac{c}{b},\qquad z=\dfrac{a}{c}

On a xyz=1 et on peut supposer x\leq y\leq z


Posté par
lakere : montrer l'inégalité 16-11-17 à 21:17

Bon, ça ne se passe pas si bien que je ne le pensais ...  

Posté par
ysfre : montrer l'inégalité 16-11-17 à 21:18

comment majorer par 3

Posté par
lakere : montrer l'inégalité 16-11-17 à 22:33

J'ai trouvé ceci: (le problème 27 page 34)

Bon courage...

Posté par
ysfre : montrer l'inégalité 17-11-17 à 00:11

je vous lake remercie...

Posté par
lakere : montrer l'inégalité 17-11-17 à 13:50

Une autre solution (pas de moi) qui utilise deux inégalités classiques à savoir l'inégalité de Cauchy-Schwartz et l'IAG.

Je la retranscris ici car le lien est pour le moins elliptique.

- Cauchy-Schwartz: \left(\sum a_ib_i\right)^2\leq \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)

- IAG: pour n réels positifs a_i,   \sqrt[n]{\prod a_i}\leq \dfrac{\sum a_i}{n}

S=\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{2b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{2c}{c+a}}

On écrit que \dfrac{2a}{a+b}=2(a+c)\,.\,\dfrac{a}{(a+b)(a+c)} et \text{cyc} et on applique CS:

S^2\leq 2[(a+c)+(b+a)+(c+b)]\left[\dfrac{a}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{b}{(b+c)(b+a)}+\dfrac{c}{(c+a)(c+b)}}\right]

S^2\leq \dfrac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}  (1)

(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc   (2)  (A vérifier en développant les deux membres)

Avec l'IAG:

    abc\leq \left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3 et a^2b^2c^2\leq \left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3

On en déduit par produit abc\leq \dfrac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)

Puis avec (2):

  (a+b)(b+c)(c+a) \geq \dfrac{8}{9}\,(a+b+c)(ab+bc+ca)

Enfin avec (1):

  S^2\leq 9 d' où S\leq 3

Posté par
Sylvieg Moderateurre : montrer l'inégalité 21-11-17 à 18:47

Bonsoir,
J'ai regardé le lien ; effectivement, la seconde solution n'est pas bien présentée...
Mais je la trouve séduisante car elle n'utilise en fait que Cauchy-Schwartz.

A partir de S^2\leq \dfrac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)} (1)

On cherche à démontrer \dfrac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq 9

Equivalent à 8(a+b+c)(ab+bc+ca) \leq 9(a+b)(b+c)(c+a)

Or 9(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+b+c)(ab+bc+ca) = a(b-c)^2 + b(a-c)^2 + c(a-b)^2

Posté par
lakere : montrer l'inégalité 22-11-17 à 01:52

Bonsoir Sylvieg,

Il est tard et j'ai la flemme de vérifier ta dernière identité mais je te fais toute confiance...

J'avais bataillé ferme pour extraire du lien une solution ... laborieuse avec l'IAG.

Et effectivement, CS suffit. Je suis passé à côté. C'est beaucoup plus plaisant/propre comme tu t'y es prise!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : montrer l'inégalité 22-11-17 à 09:33

Bonjour lake,
Effectivement il était tard !
En fait, j'ai épluché la seconde solution du site que tu as indiqué, sans avoir vu le rapport avec la démonstration que tu as donnée ; je pensais qu'elle était inspirée d'un autre site.
Ecrire du 1/x pour ensuite écrire x = 1/... au lieu de directement x = a+c m'a donné un peu du fil à retordre. J'ai constaté ensuite que tu l'avais déjà bien démêlé

Ce que j'ai posté n'est qu'une présentation un peu plus claire des calculs évoqués ensuite.

C'est Leptchinski qu'il faut féliciter. Il a sans doute trouvé le cheminement pour utiliser Cauchy-Schwartz après pas mal de détours ; ce qui l'aura empêché de voir que ses x, y, z embrouillaient inutilement.

Posté par
lakere : montrer l'inégalité 22-11-17 à 11:06

Ah! En parlant de solution "elliptique", je ne faisais pas allusion à celle de Leptchinski mais à une troisième  ici:   page 59


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